6. square numbers

완전제곱수

square numbers

"홀수개의 양의 약수를 가진다면

무조건 제곱수네요"

" perfect square has

odd number of positive factors "

양(+) 의 약수의 개수의 개념과 관련된 완전 제곱수 문제는 중고등수학 전반에서, 직접적인 유도과정을 묻거나 결합된 형태의 유형으로 자주 출제되고 있습니다.

정확한 개념 및 유도 과정과 응용력을 익혀서, 항상 활용할 수 있도록 기억해 두기 바랍니다.

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(완전)제곱수는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 예를 들어, 12² = 144 를 살펴 보도록 할까요?

What are the common characteristics of perfect squares? Let's investigate 144 as an example.

144는 제곱수이니까, 소인수로 분해하면 (2² x 3)² = 2⁴ x 3² 과 같이 지수가 항상 짝수일 수 밖에 없겠지요?

If we factor a square number 144 and express it into shorten prime factorization form, then all of its prime factors will have even multiplicities, that is, 144 = (2² x 3)² = 2⁴ x 3².

따라서, 양의 약수의 개수는 (4 + 1) x (2 + 1) 과 같이 홀수들의 곱이 될테니까, 전체의 개수는 항상 홀수가 될 수 밖에 없습니다.

Therefore, the number of positive factors should be odd because the product of all odd numbers is always odd like an example (4 + 1) x (2 + 1) shown above.

반대로, 음이 아닌 정수 N 의 양의 약수의 개수가 홀수라고 한다면 그 수 N 은 반드시 완전제곱수일 수 밖에 없을까요?

Conversely, if the number of positive factors of non negative integer N is odd, then will this N be always perfect square?

예컨데, (p + 1) x (q + 1) x ⋯  과 같이 계산된 결과가 홀수라는 것이지요. 그런데, 홀수들만의 곱이 홀수가 되는 것이니까, (p + 1), (q + 1), ⋯  들은 모두 홀수일 수 밖에 없습니다.

This means the product result of (p + 1) x (q + 1) x ⋯ is odd and therefore, (p + 1), (q + 1), ⋯  are all odd because the product of all odd numbers is always odd.

따라서, p, q, ⋯  와 같은 소인수의 지수들은 짝수일 수 밖에 없습니다.

Accordingly, we can conclude that the powers of prime factors of N such as p, q,  ⋯  are all even numbers.

이제, 공부한 내용을 문자로 일반화해서 정리해 두도록 할까요?

Then, let's summarize what we learned here.

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자연수 N 이 아래와 같이 소인수 분해되는 경우,

If prime factorization of a positive integer N is as follows :

  

N = a^α x b^β x ⋯ x z^ω

(1) 양의 약수의 개수가 홀수라고 한다면, 아래 곱셈의 결과가 홀수라는 뜻이 됩니다.

If the number of positive factors of N is odd, then the product shown below will be odd too.

  

(α + 1) x (β + 1) x ⋯ x (ω + 1) = 홀수 (odd)

(2) 그런데, 홀수들의 곱만이 항상 홀수가 되므로, 각각의 (α + 1), (β + 1), ⋯ (ω + 1) 가 모두 홀수가 되겠지요.

Therefore, each (α + 1), (β + 1), ⋯ (ω + 1) should be odd because the product of odd numbers is odd.

(3) 따라서, α, β, ⋯ ω 는 모두 짝수입니다. 이제, α = 2α', β = 2β',  ⋯  ω = 2ω' 라고 놓으면,

Accordingly, α, β, ⋯ ω are all even numbers. Now, if we assume that α = 2α', β = 2β',  ⋯  ω = 2ω',

  

N = a^α x b^β x ⋯ x z^ω

= a^2α' x b^2β' x ⋯ x z^2ω'

= (a^α' x b^β' x ⋯ x z^ω')²

(5) 따라서, 자연수 N 은 (완전)제곱수가 됩니다.

Therefore, we can conclude that N is a square number (perfect square). 

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이것만 알고 있으면, 다음과 같은 문제는 아주 쉽게 해결할 수 있습니다.

Having learned that, it is very easy to solve this type of exercises.

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400 미만의 자연수 중에서 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수의 개수를 구하여라.

Find the number of positive integers, less than 400, that have odd number of positive factors. 

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위에서 공부한 대로, 홀수개의 약수를 가진 자연수는 (완전)제곱수이니까,

As we learned here, only square numbers have odd number of positive factors and therefore :

  

1², 2², 3², ⋯ 19²

∴  19 개