4. a matrix B such that AB = BA

AB = BA인 행렬

finding a matrix B such that AB = BA

"AB = BA만 성립한다면

행렬계산이 너무 쉽지요"

" matrix operation becomes quite easy

only if AB = BA "

  

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고 3 의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

[행렬의 연산] 단원의 심화유형 문제에서, AB = BA 를 만족하는지만 알아낼 수 있다면, 곱셈공식과 인수분해 공식을 자유롭게 사용할 수 있으니까, 아주 편리합니다.

실전문제에서 아주 유용한 방법이니까, 철저하게 이해하고 응용하는 방법을 익혀두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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앞에서 두 행렬의 곱, AB 와 BA 는 서로 같지 않다는 것을 배웠습니다. 그래서 행렬의 곱이 포함된 연산은 너무 어렵지요?

We already learned that matrix multiplication is not commutative, i.e., AB ≠ BA.

AB = BA 만 성립한다면 얼마나 좋을까요? 우리가 익히 알고 있는 곱셈공식과 인수분해 공식을 맘대로 사용할 수 있을 테니까요.

If only AB = BA, then we will be free to use known algebraic formulas.

그러면 여기서, 실수에서와 같이 우리가 마음대로 연산할 수 있도록 하는 AB = BA 가 성립하는 행렬 B 에는 도대체 어떤 것들이 있는지를 조사해 볼까요?

Then, let's investigate a matrix B that satisfies AB = BA, for a given matrix A.

(1) 단위행렬 (identity matrix)

AE = EA, AE² = E²A, AE^-1 = E^-1A, ...

* For your reference, please be advised that we confine this subject only to (2 x 2) matrices and use the notation identity matrix = I₂ = E.

(2) 행렬 A 와 그 패밀리 (matrix A itself and its family)

AA² = A²A, AA³ = A³A, AA^-2 = A^-2A, ...

따라서, 행렬 B 가 위에서 알아낸 두 가지 종류의 덧셈과 뺄셈으로 이루어져 있다면, 곱셈의 교환법칙이 성립하겠지요? 그러면 일반화시켜서, 정리해 볼까요?

Therefore, if a matrix B is a combination of these two kinds of matrices, then AB = BA and we can use algebraic formulas, without restrictions.

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행렬 B = p A^m + q A^–n+ r E 일 때는, 항상 AB = BA 가 성립한다.

If B = p A^m + q A^–n+ r E, then AB = BA always holds.

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이 내용은 심화유형의 행렬의 연산이나 진위문제에서, 아주 편리하게 활용되니까, 상위 수준의 고등학생이라면, 반드시 외워 두고 응용력을 키워두기 바랍니다.

These summarized results are very useful to solve complicated matrix operations or true / false questions. Please try to remember the underlying concepts and be ready to use them.

예를 하나 볼까요?

Let's try to solve a worked example.

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두 행렬 A, B 가 아래의 두 조건식을 만족할 때, A³ + B³ 을 단위행렬 만으로 간단히 나타내어라.

When matrices A and B satisfy the following conditions, express A³ + B³ only in terms of I₂

A + B = E (I₂)  ⋯ ①

AB = 2E (2I₂)  ⋯ ②

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(1) 우선 ① 식을 B 를 주어로 바꾸면, B = – A + E 이니까, 위에서 알아낸 대로 AB = BA 가 성립하지요?

If we express equation ① in terms of B, then B = – A + E and therefore, AB = BA holds, as we found out on the above.

(2) 따라서, 곱셈공식을 맘대로 사용해도 되겠지요? 곱셈공식의 변형 방법으로 계산하면,

Accordingly, we are free to use expansion formula, as follows :

A³ + B³

= (A + B)³ – 3AB(A + B)

(3) 이제, 변형식에 주어진 ①, ② 식을 대입하면,

Now, replace the formula with given ①, ② :

  

= E³ – 3 x 2E x E

= – 5E

한 문제만, 더 풀어 보도록 할까요?

Let's try one more true or false question.

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역행렬을 갖는 두 행렬 A, B 가 A + B = 3E 를 만족할 때, 아래의 등식이 참인지 거짓인지를 판별하여라.

When matrices A and B, that has inverse matrix, satisfy the condition A + B = 3E, determine whether the following equality is true or not.

(AB)²⁰ = A²⁰ x B²⁰

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(1) 우선, B 를 주어로 바꾸어 보면 B = 3A^–1 이니까, AB = BA 가 성립하지요?

If we express the condition in terms of B, then B = 3A^–1 and therefore, AB = BA holds.

(2) 따라서, (AB)²⁰ 을 전개한 다음, AB = BA 를 아래와 같이 계속 바꾸어 나가면, 참이 되는 것을 알 수 있습니다.

If we replace AB with BA, step by step, then we can prove it as follows.

(AB)²⁰

= AB x AB x AB x AB x ⋯

= A x AB x AB x AB x ⋯

= AA x AB x BA x BA x ⋯

= A²⁰ x B²⁰