1. shifting function graphs
그래프의 평행이동
shifting function graphs
"그래프를 갖고 노는게
너무 재미있어요"
" shifting function graphs
is really fun "
중고등 학생들의 수학실력의 차이는, 함수와 그래프 개념의 이해와 응용력의 차이에서 비롯된다고 할 정도로 중요한 부분이니, 철저히 익혀 두는 것이 매우 중요합니다.
방정식과 부등식도, 함수의 그래프의 개념으로 이해하고 접근하는 법을 배우면, 어려운 수준의 문제들을 훨씬 쉽고 재미있게 해결할 수 있습니다.
이차함수나 그 밖의 어려운 함수의 그래프는 나중에 다루도록 하고, 오늘은 이해하기 쉽도록 간단한 절대값 일차함수를 가지고 그래프의 평행이동을 알아보도록 합니다.
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[ A ] 좌우 평행이동 (horizontal shifts)
y = | x – 2 | 의 그래프를 그려 볼까요?
Let's sketch the graph of y
= | x – 2 |.
x = 2 를 기준으로, 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–)
인지에 따라, 2 가지 경우로 나누어 그래프를 그려야 되겠지요?
As we learned
in absolute value equations, we need to divide into 2 intervals in order to
solve absolute bar. In this example, 2 will be a critical point where the
absolute term becomes positive(+) or negative(–).
그리고, 앞에서 공부했던 (A∩P)∪(B∩Q)
의 논리 다이어그램을 적용하면 되겠지요?
We have to apply
logic diagram (A∩P)∪(B∩Q) that we learned before.
(A) x < 2 일 때
|
(B) x ≥ 2 일 때
|
y = – x + 2
|
y = x – 2
|
(1) x < 2
가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = –
x + 2 의 그래프를 그려 넣고,
According to
the logic diagram (A∩P), draw y = – x + 2 line only within
the solution set of x < 2, which is red shaded region as shown below.
(2) x ≥ 2
가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = x – 2
의 그래프를 그리면 되겠지요?
Next, sketch y
= x – 2 line only in blue shaded region, the solution set of x ≥ 2, based on the logic diagram (B∩Q).
(3) 그리고 나서, 위의 [(1)∪(2)] 이니까 두 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 아래 그림에서 파란색의 꺽은선 그래프가 되지요?
Finally, we
combine two half line graphs on the same plane according to the logic diagram (A∩P)∪(B∩Q).
As a result, you will find blue 'v shape' line graph as shown below.
[ B ] 상하 평행이동 (vertical shifts)
이번에는 y = | x | + 3 의 그래프를 그려 볼까요?
This time, let's sketch the graph of y = | x | + 3.
x = 0 을 기준으로, 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라 2 가지 경우로 나눈 다음, 앞에서 공부했던 (A∩P)∪(B∩Q) 의 논리 다이어그램을 적용해서 그래프를 그리면 되겠지요?
In this example, 0 will be a critical point where the absolute term changes its sign. Therefore, we need to divide into 2 intervals in order to apply logic diagram (A∩P)∪(B∩Q).
(A) x < 0 일 때
|
(B) x ≥ 0 일 때
|
y = – x + 3
|
y = x + 3
|
(1) x < 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = – x + 3 의 그래프를 그려 넣고,
Draw y = – x + 3 line, only in red shaded region as shown below according to the logic diagram (A∩P).
(2) x ≥ 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = x + 3 의 그래프를 그리면 되겠지요?
In the same way, sketch y = x + 3 line graph only in the solution set of x ≥ 0, blue shaded region as shown below.
(3) 그리고 나서, 위의 [(1)∪(2)] 이니까 두 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면, 아래 그림과 같이 파란색 꺽은선 그래프가 됩니다.
Finally, if we combine two half line graphs on the same plane in accordance with the logic diagram (A∩P)∪(B∩Q), then the result will be a blue 'v shape' line graph as shown below.
[ C ] 그래프의 평행이동 (shifting graphs)
이번에는 위에서 그려본 y = | x – 2 | 와 y = | x | + 3 그리고 앞서 배웠던 y = | x | 의 그래프를 한 좌표평면에 함께 다같이 나타내 볼까요?
Now, we're going to put 3 graphs together on the same coordinate plane as shown below. Watch carefully 3 graphs of | x – 2 |, y = | x | + 3 and y = | x | that we learned before.
똑같이 합동인 그래프들이 상하좌우로 평행이동 되어 있는 것이 잘 보이나요? 그 결과를 정리, 분석해 보면 아주 흥미롭습니다.
All three graphs shown above are congruent and they just move up & down or to the left & right. What will be the interesting principles behind these graphs?
(1) y = | x | 의 그래프를 기준으로 볼 때, x 대신에 x – 2 를 대입한, 빨간색 y = | x – 2 | 의 그래프는 오른쪽으로 2 만큼 평행이동
If we substitute x – 2 for x in the equation y = | x |, then the new graph is red one that shifted 2 units to the right.
(2) y = | x | 를 기준으로 할 때, y 대신에 y – 3 을 대입한 y – 3 = | x | 즉, 파란색 y = | x | + 3 의 그래프는 위쪽으로 3 만큼 평행이동
This type seems a little bit tricky but if we replace y in the equation y = | x | with y – 3, that is y = | x | + 3, then the new graph is blue one that moved higher 3 units.
(3) 이번에는, y = | x – 2 | 를 기준으로 본다면, x 대신에 x + 2를 대입한 y = | x + 2 – 2 | = | x | 의 그래프는 왼쪽으로 2 만큼 평행이동
From a different viewpoint, let's suppose red y = | x – 2 | is given. If we replace x in the equation y = | x – 2 | with x + 2, then y = | x + 2 – 2 | = | x | and this new black graph looks like it shifted 2 units to the left.
(4) 또, y = | x | + 3 을 기준으로 본다면, y 대신에 y + 3 을 대입한 y + 3 = | x | + 3. 즉, y = | x | 의 그래프는 아래쪽으로 3 만큼 평행이동
From a different viewpoint again, if we substitute y + 3 for y in the equation y = | x | + 3, that is y = | x |, then the new black graph looks as if it moved down 3 units.
마치 청개구리 심보인 것 같이, 반대로 움직이지요?
나중에, [함수와 그래프의 변환] 이라는 과목에서 설명하겠지만, x, y 축의 상대적인 이동이라는 그래프 변환의 개념까지 터득한 상위수준의 학생이 아니라면, 중학수준까지는 그냥 외워서 활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.
이 청개구리 성질은 뒤에서 배우게 될 대칭이동과 확대 및 축소 변환에서도 그대로 적용이 되니 잘 기억해 두기 바랍니다.
This 'contrary' property applies to [function transformations] such as reflections and stretching / squeezing, which we will study further in depth, later.
위에서 배운 평행이동의 원리를 식으로 정리해 볼까요?
Let's summarize what we have learned in shifting graphs.
y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때, 양수(+) α, β 에 대하여,
When the graph of y = f (x) is given and for positive real numbers α and β,
(1) x 대신에 x – α 를 대입한 y = f (x – α) 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼 평행이동
If we substitute x – α for x, then the graph of y = f (x – α) looks like it moved α units to the right.
(2) x 대신에 x + α 를 대입한 y = f (x + α) 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를 왼쪽으로 α 만큼 평행이동
If we substitute x + α for x, then the graph of y = f (x + α) looks like it moved α units to the left.
(3) y 대신에 y – β 를 대입한 y – β = f (x) 즉, y = f (x) + β 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를 위쪽으로 β 만큼 평행이동
If we replace y with y – β, then the graph of y – β = f (x), that is y = f (x) + β, looks as if it moved higher β units.
(4) y 대신에 y + β 를 대입한 y + β = f (x) 즉, y = f (x) – β 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를 아래쪽으로 β 만큼 평행이동
If we replace y with y + β, then the graph of y + β = f (x), that is y = f (x) – β, looks like it moved down β units.
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