5. number and sum of factors

약수의 개수와 합

number and sum of factors

"아래 도표의 이미지를 기억하면

아주 쉬워요"

" just keep in mind

the image of the table shown below "

양 (+) 의 약수의 개수와 그 합의 문제는, 중고등과정 수학에서 수시로 등장하는 중요한 유형입니다.

중학 수학에서의 완전 제곱수 관련 문제나 고등과정에서의 수열의 합 등에서, 결합된 형태의 유형으로 자주 출제되고 있습니다.

반드시 아래에서 설명되는 도표 이미지를 기억해 두고 정확한 개념, 유도 과정과 응용력을 익혀서, 항상 활용할 수 있도록 해 두어야 합니다.

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You can read math equations,

by selecting [desktop view] on the mobile.

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[ A ] 양(+)의 약수의 개수 (number of positive factors)

예를 들어, 12 의 양 (+) 의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 이지요? 그럼 이 숫자들은 어떤 원리에서 구해지는 걸까요?

How can we find positive divisors of 12? What is the underlying principle?

12 = 2² x 3 이니까, 아래의 표에서 보는 것과 같이, 소인수인 2 와 3 이 서로 곱해지면서 약수를 만들어 냅니다.

After a prime factorization of 12 = 2² x 3, it's easier to find that a factor consists of prime factors as shown below.

	20 = 1	21 = 2	22
30 = 1	1 x 1	1 x 2	1 x 22
31 = 3	3 x 1	3 x 2	3 x 22

(1) 위의 표에서 보면, 소수 2 가 곱해지는 경우의 수는 간단하게 지수 숫자의 종류로 표현한다면, 0, 1, 2 의 3 가지이고, 소수 3 이 곱해지는 경우의 수는 지수의 숫자로 0 또는 1 의 2 가지입니다.

Possible outcomes of factor 2 are 2⁰, 2¹, and 2² and the outcomes of factor 3 are 3⁰, and 3¹ as shown above.

(2) 따라서, 서로 곱해지는 전체 경우의 수는 3 x 2 = 6 가지가 됩니다. 위의 표에서, 이 원리를 자세히 들여다 보면, 각 소인수의 최고차 지수에 1 을 더한 숫자들의 곱이 된다는 것을 알 수 있습니다.

Therefore, the number of positive factors is the product of all (the highest degree + 1) of each prime factor.

(2 + 1) x (1 + 1) = 6

이 원리를 이용해서, 이번에는 360 의 양의 약수의 개수를 구해 볼까요?

Let's find the number of positive factors of 360 using this principle.

(1) 소인수 분해를 해서, 지수형태의 소수들의 곱으로 바꾸면,

First, factor 360 into product of prime numbers.

360 = 2³ x 3² x 5 = 2³ x 3² x 5¹

(2) 따라서, 양의 약수의 개수는

Therefore, the number of positive factors is

(3 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 24

[ B ] 양(+)의 약수의 총합 (sum of positive factors)

그러면, 위에서 공부했던 예제의 12 = 2² x 3 의 양 (+) 의 약수들의 총합은 어떻게 구할 수 있을까요? 바로, 위의 도표에서 푸르게 색칠된 셀들의 합을 구하면 됩니다.

Then, what will be total sum of positive divisors of 12? It's just the sum of numbers shaded in light blue as shown on the table above.

1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 2² + 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 2²

= 1 x (1 + 2 + 2²) + 3 x (1 + 2 + 2²)

= (1 + 3) x (1 + 2 + 2²)

= 28

이제, 공부한 내용을, 문자를 써서 공식으로 일반화시켜 볼까요?

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자연수 N = a^α x b^β x ⋯ x z^ω 로 소인수분해가 될 때,

(1) N 의 양의 약수의 개수는,

The number of positive divisors of N equals :

(α + 1) x (β + 1) x ⋯ x (ω + 1)

(2) N 의 양의 약수의 총합은,

Total sum of positive divisors of N is equal to :

(1 + a + a² + ⋯ + a^α) x (1 + b + b² + ⋯ + b^β) x

⋯ x (1 + z + z² + ⋯ + z^ω) 

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