5. Cayley-Hamilton theorem

케일리-해밀턴 정리

Cayley-Hamilton theorem

"행렬의 거듭제곱을

아주 쉽게 구할 수 있어요"

" the easiest way

to find powers of a matrix "

최근 들어, 행렬의 거듭제곱의 문제들은, n 차 행렬을 n = 1 부터 하나씩 계산해 본 후, 규칙성을 찾아내는 유형들이 많이 출제되고 있습니다.

이는 케일리-해밀턴 정리가 표준 교과의 범위를 벗어나기 때문이지만, 그럼에도 불구하고, 아직도 많은 문제 유형에서 행렬의 거듭제곱 계산을 편리하게 할 수 있도록 활용되는 원리입니다.

이 원리를 이용한 유형은 대부분 곱셈공식이나 인수분해가 가능한 문제들로, 혼합 연계된 형태로 자주 출제되고 있습니다. 또한, 이 정리는 앞으로 배우게 될 역행렬의 연계형 문제에서도 자주 활용되니까, 확실하게 이해하고, 외워 두는 것이 유리합니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

  

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행렬 A =\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\) 일 때, 아래의 식 값을 한 번 계산해 볼까요?

When A =\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\), let's calculate the following equation :

A² – (a + d) A + (ad – bc) E

=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\) – (a + d) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\) + (ad – bc) \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right)\)

=\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + bc}&{ab + bd}\\{ac + cd}&{bc + {d^2}}\end{array}} \right)\)–\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + ad}&{ab + bd}\\{ac + cd}&{ad + {d^2}}\end{array}} \right)\)

+\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ad - bc}&0\\0&{ad - bc}\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) = O

위의 결과인 A² – (a + d) A + (ad – bc) E = O 을 '케일리-해밀턴 정리' 라고 하고, 행렬의 거듭제곱 계산에서 매우 편리하게 활용됩니다.

This equation is always equal to zero matrix and is known as the Cayley-Hamilton theorem, which is a very useful tool in calculating powers of square matrix.

* 참고로, 우리나라에서는 (2 x 2) 의 단위행렬을 ‘E’ 라고 표현하지만, 영미권 국가에서는 ‘I₂‘ 라고 표현합니다.

* For your reference, most English math books use 'I₂' ('E' in Korean) to represent the identity matrix of size 2 x 2.

예를 들어, 행렬 A =\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right)\) 일 때, A⁴ 의 값을 한번 계산해 볼까요?

As an example, let's simplify A⁴ in terms of A and E(=I₂), when A =\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right)\).

케일리-해밀턴의 식, A² – 5A – 2E = O 을 적용해서 아래와 같이 한 단계씩 차수를 낮추어 나가면 됩니다.

We can reduce the exponent of matrix A, by applying the Cayley-Hamilton equation, A² – 5A – 2E = O, as follows :

A⁴

= (A²)²

= (5A + 2E)²

= 25A² + 20A + 4E

= 25(5A + 2E) + 20A + 4E

= 145A + 54E

= 145\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right)\) + 54\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}199&290\\435&634\end{array}} \right)\)

비슷한 연습 문제를 하나 더 풀어 볼까요?

Let's try to solve a similar exercise.

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A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&2\end{array}} \right)\) 라고 할 때, A⁴ – 2A³ + 3A² + A 를 A 와 E 만으로 간단하게 표현하여라.

When A =\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\3&2\end{array}} \right)\), simplify A⁴ – 2A³ + 3A² + A in terms of A and E(=I₂) only.

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(1) 우선, 케일리-해밀턴 정리를 이용하면, A² = 3A – 2E 이니까, 차수를 하나씩 낮추어 나갈 수 있겠지요?

We can reduce the powers of a matrix by applying the Cayley-Hamilton equation A² = 3A – 2E, as shown below.

A⁴ – 2A³ + 3A² + A

= (3A – 2E) ² – 2A(3A – 2E) + 3(3A – 2E) + A

= 3A² + 2A – 2E

= 3(3A – 2E) + 2A – 2E

= 11A – 8E

이번에는, 삼차방정식 x³ = 1 의 성질과 매우 유사한, 행렬 방정식의 유형을 살펴 보도록 합니다.

Now, we're going to examine matrix equation types that is quite similar to the cubic equation x³ = 1.

여기서 잠깐, 가장 간단한 삼차방정식 x³ – 1 = 0 을 복습해 보도록 할까요?

Here, let’s review the simple form of cubic equation, i.e., x³ = 1.

(1) 우선, 삼차방정식의 좌변을 인수분해하는 것이 좋겠지요?

First, we’d like to factorize the left side of this equation.

아래의 인수분해 공식에서 a 와 b 대신에 x 와 1 을 각각 대입하면,

If we substitute a and b with x and 1 respectively, in the following factorization formula,

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

이제, 삼차방정식의 좌변이 인수분해 되니까, 근의 공식을 이용해서 쉽게 해를 구할 수 있습니다.

Now, we factorized the left side of this equation and accordingly, we can easily apply the quadratic formula as well.

x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1) = 0

∴   (a)  x – 1 = 0  or  (b)  x² + x + 1 = 0

(2) 따라서, (a) x – 1 = 0 식에서 실근인 x = 1 이 구해지고,

Therefore, we get real solution x = 1 from the equation (a) x – 1 = 0 and,

(b) x² + x + 1 = 0 에서 2 개의 허근을 합하여, 모두 세 개의 해를 구해낼 수 있습니다.

We get two more complex conjugates, \(\omega \) & \(\overline \omega \) from the equation (b) x² + x + 1 = 0.

x = \(\frac{{ - 1 + \sqrt 3 i}}{2}\) = \(\omega \)

or

x = \(\frac{{ - 1 - \sqrt 3 i}}{2}\) = \(\overline \omega \)

(3) 이 때, \(\omega \) 와 \(\overline \omega \) 는 x³ – 1 = 0 이라는 삼차 방정식의 해이기도 하니까,

Here, \(\omega \) and \(\overline \omega \) are also the roots of x³ – 1 = 0.

\(\omega \)³ = \(\overline \omega \)³ = 1

바로 이러한 원리로, x² + x + 1 = 0 이라는 식이 주어졌다면, x³ = 1 도 성립합니다.

According to this underlying principle, if x² + x + 1 = 0 is given, then x³ = 1.

마찬가지 방법으로, x² – x + 1 = 0 이라는 식이 주어졌다면, x³ = – 1 도 만족해야 합니다. 워낙 고등수학 전반에서 자주 등장하는 중요한 성질이니까, 반드시 외워두기 바랍니다.

In the same way, if x² – x + 1 = 0 is given, then we can also conclude that x³ = – 1.

A 와 E 로만 이루어진 행렬식에서는, 실수에서 배운 곱셈공식과 인수분해 공식이 그대로 적용되니까, 위에서 복습했던 삼차방정식 x³ = 1 의 성질도 그대로 활용됩니다.

If the matrix equation consisted of A's and E's only, then it satisfies all algebraic formulas, including the properties of this cubic equation x³ = 1.

행렬에서는, 실수에서의 1 과 같은 곱셈의 항등원이 E 가 되니까, 위에서 복습했던 내용을 아래와 같이 행렬의 공식으로 바꿀 수 있습니다.

In view of the fact that the identity matrix E(=I₂) is the same as the multiplicative identity '1' in its logical sense, we can rephrase what we have examined as follows :

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(1) if A² + A + E = O,     then A³ = E

(2) if A² – A + E = O,  then A³ = – E

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자 그럼, 관련된 예제를 한 번 풀어 볼까요?

Then, let's try to solve a related example.

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A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right)\) 라 할 때, A¹⁰⁰⁰ + A⁹⁹⁹ + A⁹⁹⁸ + A⁹⁹⁷ 를 구하여라.

Solve A¹⁰⁰⁰ + A⁹⁹⁹ + A⁹⁹⁸ + A⁹⁹⁷, when A =\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right)\).

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(1) 우선, 케일리-해밀턴 정리를 적용하면, A² – A + E = O 이니까, 앞에서 정리했던 대로 A³ = – E.

From the Cayley-Hamilton theorem, we get A² – A + E = O and therefore, we can conclude that A³ = – E, as we summarized on the above.

(2) 대입해서 계산하면, A⁹⁹⁹ = (A³) ³³³ = – E 가 되니까, 준식에 대입하면,

Substituting A³ = – E, we can simplify the equation,

A¹⁰⁰⁰ + A⁹⁹⁹ + A⁹⁹⁸ + A⁹⁹⁷

= – A – E + A² + A

(3) 그런데, A² – A + E = O 라고 했으니까,

Again, if we apply A² – A + E = O,

= – A – E + (A – E) + A

= A – 2E

따라서, 답은 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right)\).

Accordingly, the answer is \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right)\).

위의 공식은 앞으로 배우게 될 역행렬에서도 자주 등장하는 매우 중요한 내용이니까, 확실하게 이해해 두고, 반드시 외워 두기 바랍니다.