4. straight line equation : point-slope form
한점을 지나고 평행한 직선
point-slope form
"원점을 잡고 지나는 점까지
평행이동시키세요"
" grab and drag the line
from (0, 0) to the point "
일차함수의
그래프는 중고등 수학
전과정에서 다양하게 활용되는
매우 중요한 단원입니다.
문과 고등학생 중에도
직선의 그래프도 제대로
못 그려서
쩔쩔매는 경우를 자주
봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로
중요하니, 기초부터 확실하게
다져 두기 바랍니다.
문과라 하더라도,
고등과정의 다항함수의 미적분까지 공부하는
데 꼭
필요한 중요한 개념이니까
확실하게 이해해 두기
바랍니다.
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기울기를
알고 한 점을
지나는 직선의 방정식을
구하는 방법은 대표적으로
2 가지가 있습니다.
There
are two most common ways to find the equation of a parallel line that passes
through a point.
앞에서 배운 (1) 가장 기초적인
y
= ax + b
를 활용하는 방법과
(2) 평행이동의 개념을
이용한 y – β = m (x – α) 의 방법이
있습니다.
The first basic way to find the equation is a slope-intercept form y = ax + b, and the second method is a point-slope form y – β = m (x – α).
어느 정도 실력이
갖추어진 학생이라면, 두 번째의
평행이동을 이용한 방법을
사용하는 것이 응용력의
향상에 도움이 됩니다. 그러면 하나씩 구체적으로
알아 보도록 할까요?
The
point-slope form seems to be better in applying to various types of line
equations if you are a mid-level or advanced learner. Let's study these two
methods step by step.
[
A ] 표준적인 y = ax + b 를 활용하는 방법 (slope-intercept
form)
예를 들어, 기울기가 2 이고 점 (1, 4) 를
지나는 직선의 방정식은
어떻게 구할 수
있을까요?
For
example, let's find an equation of the line which passes through (1, 4) and has
slope 2.
(1)
앞에서 배웠던 대로, 직선의 방정식은 y = (기울기) x + (y 절편) 라고
세우는 것이 가장 기초적인 표준 방법이라고 했었지요? 그런데, 기울기가 2 라고
했으니까, 우선 y = 2x + b 라고
놓을 수 있습니다.
You
may already be familiar with the basic y = (slope) x + (y-intercept) form. This line
has slope = 2 and therefore, we can write an equation as y = 2x +
b.
(2)
이 직선이
(1, 4) 를 지난다고 했으니까, 점의 x 좌표인 1 과 y 좌표인 4 를
각각 직선식의 x 와 y 자리에 대입하면
만족시켜야 합니다.
The point (1, 4) is on the line and accordingly, these x and
y values have to satisfy given equation y = 2x + b.
(3)
이제, 직선식에 대입해서
b 값을 구하면
됩니다.
If
we put the values into the line equation, then we can get an answer.
4 = 2 x 1 + b
b = 2
∴ y = 2x + 2
[
B ] 평행이동 y – β = m (x – α) 를 활용하는 방법 (point-slope
form)
This
time, let's find an equation of the line which passes through (2, 3) and has
slope \(\frac{1}{{{\rm{ }}2{\rm{ }}}}\) by using point-slope
form.
아래의 그림에서 보듯이 두 직선은 평행하니까, 우리가 식을 구하려는 파란색의 직선은, (1) 검은색의 직선 y = \(\frac{1}{{{\rm{ }}2{\rm{ }}}}\) x 위의 원점을 잡아서 (2) 빨간색 점선을 따라 점 A = (2, 3) 까지 평행이동을 시킨 것이라고 생각해도 되겠지요?
As you see two parallel lines shown below, we can assume that a
blue line is a shifted result of a black line along the red dotted line from
the origin (0, 0) to A (2, 3).
바로 이 원리를 이용하면, 아주 쉽게 파란색 직선의 방정식을 구해 낼 수 있습니다.
This is the underlying principle to find the equation of point-slope
form.
위에서 설명한 대로, 파란색의 직선은 검은색 직선 위의 원점 (0, 0) 을 빨간 점선을 따라, 오른쪽으로 2 만큼 그리고 동시에 위로 3 만큼 평행이동 것이니까, 검은색 직선의 식에서, x 대신에 x – 2 를, y 대신에 y – 3 을 동시에 ( ∩ ) 대입하면 됩니다.
As we investigated, blue line can be consider as shifted 2 units to
the right and moved higher 3 units. Therefore, replace x and y with x – 2 and y – 3 respectively.
y – 3 = \(\frac{1}{{{\rm{ }}2{\rm{
}}}}\) (x – 2)
∴ y = \(\frac{1}{{{\rm{ }}2{\rm{
}}}}\) x + 2
이 평행이동을 활용한 방법은 중요하니까, 문자를 써서 정리해 볼까요?
Let's summarize this point-slope method, which is relatively more
important.
기울기가 m 이고, 점 (α, β)
를 지나는 직선의 방정식은, .
'point-slope form' equation of the line that has slope m and
passes through the point (α, β) is,
y – β = m (x – α)
∴ y = m (x – α) + β
공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?
Let's try to solve a review exercise.
직선 y = \(\frac{1}{{{\rm{
}}3{\rm{ }}}}\) x 와 수직이면서, 점 (– 2, 8) 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.
Find the equation of the straight line which is perpendicular to y
= \(\frac{1}{{{\rm{ }}3{\rm{ }}}}\) x and passes through (– 2,
8).
(1) 수직인 두 직선의 기울기는 서로 곱하면 – 1 이 된다는 것은 잘 알고 있겠지요? 따라서, 구하는 직선의 기울기는 – 3 이 됩니다.
Product of slopes of two perpendicular lines is – 1. Therefore, the
slope will be a negative reciprocal = – 3.
(2) 이제, 기울기 = – 3 을 알아 냈고, 점 (– 2, 8) 을 지난다고 했으니까, 위에서 배운 공식을 그대로 적용하면,
If we apply 'point-slope' form to the line which has slope – 3 and passes through (– 2, 8),
y – 8 = – 3(x – (– 2))
∴ y = – 3x + 2
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