2. linear absolute value functions

절대값 일차함수

linear absolute value functions

"절대값 그래프부터

상위수학의 시작입니다"

" graphing absolute value functions

will lead you to
the higher level mathematics "

함수의 그래프는 고등수학 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

이 중에서도, 절대값 함수의 그래프는 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)의 개념을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.

중고등 과정 중급 및 심화문제에서 자주 등장하는 매우 중요한 유형이고, 함수 그래프에서도 많이 응용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.

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함수 y = | x | 의 그래프는 어떻게 그려야 할까요?

How can we sketch the graph of y = | x | ?

절대값이 포함된 일차함수도, 앞에서 배웠던 절대값 방정식과 같이 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라, 2 가지 경우로 나누어 그래프로 나타내는 것이 원칙입니다.

As we have learned earlier in [absolute value linear equations], we also need to split into 2 intervals in order to solve absolute bar in the function y = | x |. In this example, 0 will be the critical value whether the absolute term is positive(+) or negative(–).

(A)  x < 0 일 때	(B)  x ≥ 0 일 때
y = – x	y = x

위 내용을 이해하기 쉽게, 논리 다이어그램으로 나타내 볼까요?

To make it easier to understand, let's look at the table, shown below :

(A)  A 일 때	(B)  B 일 때
P	Q

따라서, 답은 (A∩P)∪(B∩Q) 가 되겠지요? 이제 이 내용을 그래프로 나타내도록 합니다.

As you see on the above logic diagram, final answers will be based on (A∩P)∪(B∩Q). Following these procedures, we're going to sketch y = | x | graph, step by step.

(1) x < 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 음 (–) 이 되는, II 와 III 사분면을 나타내니까, 아래 그림에서, 빨간색으로 표시된 영역입니다.

Red shaded region is the solution set of x < 0, which will be 2nd and 3rd quadrant, as shown below.

(2) 이제, (A∩P) 이니까 이 빨간색 영역에서만 y = – x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 감소하는 파란 직선입니다.

Now, we draw y = – x line graph only in the shaded region with red color, following the logic diagram (A∩P).

  

(3) x ≥ 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 양 (+) 이 되는, I, IV 사분면과 y 축을 포함하는 영역으로, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역입니다.

This time, solution set is blue shaded region on the coordinate plane, which will be 1st, 4th quadrant and y-axis, as shown below.

(4) 이번에도 (B∩Q) 이니까, 이 파란색 영역에서만 y = x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 증가하는 파란 직선입니다.

Similarly, we sketch y = x line only in the shaded region with blue color, following the logic diagram (B∩Q).

  

(5) 마지막으로, (A∩P)∪(B∩Q) 이니까, 위의 (2)∪(4) 인 두 반직선 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 결과는 아래 그림에서 보듯이, 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?

Finally, we combine two half line graphs on the same plane, following the logic diagram (A∩P)∪(B∩Q). As a result, you will find blue colored 'v shape' line graph, as shown below.

   

이제, y = | x | 의 그래프 그리기가 충분히 이해되었다면, 별도로 구간을 나누어 생각하지 않더라도, 위의 그림이 머리 속에 그대로 떠올라야 합니다. 수학에서도 가장 기초적이고 기본적인 것은 확실하게 이해한 후 암기해 두어야, 한 계단씩 심화단계로 쉽게 나아갈 수 있습니다.

It is strongly recommended to memorize this 'v shape' graph image, after you have fully understood the concepts and logic behind y = | x | function. We're going to study more in-depth with this function graph, later on.

이제, 조금 더 복잡한 y = | x – 3 | – | x + 1 | 의 그래프를 그려볼까요?

이번에도, 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 또는 음 (–) 인지에 따라, 각각 2 가지씩 이지만, – 1 ≤ x 와 x < 3 의 구간은 하나로 합쳐지니까, 총 세 구간으로 나누면 되겠지요?

As we studied earlier, we also need to divide into 3 intervals in order to remove the absolute value bar in the function,

y = | x – 3 | – | x + 1 |

In this example, – 1 and 3 will be critical values whether the absolute terms are positive (+) or negative (–).

(A) x < –1일 때	(B) –1≤ x < 3일 때	(C) x ≥ 3일 때
y = –x+3 – (–x–1) y = 4	y = –x + 3 – (x+1) y = – 2 x + 2	y = x – 3 – (x+1) y = – 4

이것도, 앞에서 설명한 (A∩P)∪(B∩Q)∪(C∩R) 의 개념을 적용하면 되겠지요?

As you see on the above logic diagram, final answers will be based on (A∩P)∪(B∩Q)∪(C∩R). Following these procedures, we're going to sketch y = | x – 3 | – | x + 1 | graph, step by step.


(1)  x < – 1 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = 4 의 그래프를 그려 넣고,

Solution set of x < – 1 is red shaded region on the coordinate plane, as shown below. Now, we draw y = 4 line, only in this red region, according to the logic diagram (A∩P).


(2)  – 1 ≤ x < 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래의 그림에서 노란색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = – 2 x + 2 의 그래프를 그리면 되겠지요?

Next, we can see yellow colored solution set of – 1 ≤ x < 3 on the coordinate plane as shown below. We sketch y = – 2 x + 2 line, only in this yellow shaded region, according to the logic diagram (B∩Q).


(3) 마지막으로,  x ≥ 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = – 4 의 그래프를 그리면 됩니다.

Thirdly, solution set of x ≥ 3 is the region shaded in blue, on the coordinate plane, as shown below. This time, we have to draw y = – 4 line, only in this blue region, according to the logic diagram (C∩R).


(4) 이제, 위의 [(1)∪(2)∪(3)] 이니까, 세 그래프의 합집합(∪)을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 아래 그림에서 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?

Finally, we combine these three line graphs on the same plane, following the logic diagram (A∩P)∪(B∩Q)∪(C∩R). As a result, you will find blue 'broken line type' graph as shown below.