2. calculations using prime factors

소인수를 이용한 계산

calculations using prime factors

"소수를 문자로 간주하면

숫자계산이 쉬워져요"

" pretending prime factors are letters,

makes it easier to calculate "

숫자감각이 있는 상위권 학생을 제외하고는, 단순한 분수 계산 정도인데도, 너무 느리게 풀고, 실수도 잦은 고등학생들이 상당히 많습니다.

대부분의 경우, 아무런 전략적 사고도 없이, 어차피 다시 나눠줄 것을 열심히 곱해 주느라, 안타깝게도 많은 시간이 걸리고, 답도 틀려 버리는 경우가 너무 많지요.

제대로 된 계산 능력만 있어도, 중고등 수학이 훨씬 쉬워지고 실수를 크게 줄일 수 있습니다. 게다가 단순 계산보다는 어려운 개념과 이론에 보다 더 집중할 수 있으니, 수학실력도 빨리 좋아지게 됩니다.

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예를 들어 분수식의 계산을 한 번 볼까요?

Let's look at the common mistakes that most student make when they calculate fractions.

문제를 풀다가, \(\frac{{{\rm{ }}234{\rm{ }}}}{{132}} \div \frac{{{\rm{ }}156{\rm{ }}}}{{42}}\)  와 같은 계산이 나오면,

\( = \left. {\frac{{{\rm{  }}\frac{{{\rm{ }}234{\rm{ }}}}{{132}}{\rm{  }}}}{{\frac{{{\rm{ }}156{\rm{ }}}}{{42}}}})} \right){\rm{ }} = \frac{{{\rm{  }}132 \times 156{\rm{  ?  }}}}{{132 \times 156{\rm{ }}?}}\) …

어떤 게 분모였지? 라고, 기계적으로 외웠던 것을 잊어 버리거나, 잘 기억해 냈더라도 아래와 같이 어차피 다시 나눠줄 것을, 열심히 곱해 주는 학생이 많습니다.

\( = \frac{{{\rm{  }}\frac{{234}}{{132}}{\rm{  }}}}{{\frac{{156}}{{42}}}} = \frac{{{\rm{ 132}} \times {\rm{156 }}}}{{234 \times 42}} = \frac{{{\rm{ }}20592{\rm{ ? }}}}{{9828{\rm{ ?}}}}\)

분수식의 계산은 숫자로 되어 있더라도, 전부 소인수나 약수로 분해한 다음, 소인수라는 문자들의 계산으로 생각해야 편리합니다.

If you factor all composite numbers into prime factors and also pretend as if prime numbers are letters, then it makes easy to simplify and calculate fractions.

어떻게 계산해야 빠르고 쉽게 계산할 수 있는지 같이 살펴 볼까요?

(1) 우선 합성수를 소수의 곱으로 바꾸고 나서, 약분을 해 줍니다. 만일 약분할 수 있는 공약수가 쉽게 보인다면, 모두 다 소인수로 분해할 필요까지는 없습니다.

The first step to do is to change composite numbers into the product of prime factors and then simplify. If you find larger common divisors easily, then just simplify them.

\(\frac{{{\rm{ }}234{\rm{ }}}}{{132}} \div \frac{{{\rm{ }}156{\rm{ }}}}{{42}}\)

= \(\frac{{2 \times {3^2} \times 13}}{{{2^2} \times 3 \times {\rm{11}}}} \div \frac{{{2^2} \times 3 \times 13}}{{2 \times 3 \times {\rm{7}}}}\)

= \(\frac{{3 \times 13}}{{2 \times {\rm{11}}}} \div \frac{{2 \times 13}}{{\rm{7}}}\)

(2) 그 다음에, (또는 동시에 해도 됩니다) 나눗셈은 역수의 곱으로 바꾸고 나서 남은 약분을 해줍니다.

Next step will be to convert division into multiplication by turning the fraction upside down and then simplify the remaining common factors.

= \(\frac{{3 \times 13}}{{2 \times {\rm{11}}}} \times \frac{{\rm{7}}}{{2 \times 13}}\)

= \(\frac{{21}}{{44}}\)

숫자만 나오면, 무조건 계산부터 하려는 학생들이 많습니다만, 숫자를 하나의 문자로 보고, 끝까지 약분만 한 다음에, 맨 나중에, 남는 약간의 숫자만 간단하게 계산해 주는 것이 매우 중요한 비법입니다.

The key strategy is 'to pretend that prime numbers are letters' and not to compute the numbers until the simplification has been finished.

이 비법은 나중에 고등수학의 수열이나 급수에서 일반항이나 규칙성을 찾을 때, 아주 유용하게 활용되니까, 꼭 기억해 두기 바랍니다.

This technique of 'pretending prime numbers are letters', will be very useful when we study more complicated calculations in advanced math courses.

하나 더, \(\frac{{637}}{{21}} + \frac{{117}}{{12}} - \frac{{195}}{{18}}\) 같은 계산도 같이 해보도록 할까요?

G (21, 12, 18) = 252 이니까, 아래와 같이 무조건 통분해서 계산하면 너무 어렵고, 실수도 많이 하게 됩니다.

= \(\frac{{637 \times 12 + 117 \times 21 - 195 \times 14}}{{252}}\)

= \(\frac{{7644 + 2457 - 2730}}{{252}}\) = \(\frac{?}{{{\rm{ 25}}2{\rm{ }}}}\)

(1) 우선 합성수를 소수의 곱으로 바꾸고 나서, 약분을 해 주어야 하겠지요?

First, factor the composite numbers to the product of prime numbers and then simplify.

 \(\frac{{637}}{{21}} + \frac{{117}}{{12}} - \frac{{195}}{{18}}\)

= \(\frac{{{7^2} \times 13}}{{3 \times {\rm{7}}}} + \frac{{{3^2} \times 13}}{{{2^2} \times 3}} - \frac{{3 \times 5 \times 13}}{{2 \times {3^2}}}\)

= \(\frac{{7 \times 13}}{3} + \frac{{3 \times 13}}{{{2^2}}} - \frac{{5 \times 13}}{{2 \times 3}}\)

(2) 약분해서 간단하게 한 다음에, 통분을 해주고 공통인수로 묶어서 계산해 줍니다.

After having simplified the fractions completely, change them to have equal denominators and / or combine common factors.

= 13 x \(\left( {\frac{7}{3} + \frac{3}{{{2^2}}} - \frac{5}{{2 \times 3}}} \right)\)

= 13 x \(\left( {\frac{{28 + 9 - 10}}{{{2^2} \times 3}}} \right)\)

= 13 x \(\frac{{27}}{{{2^2} \times 3}}\)

= \(\frac{{117}}{4}\)

그러면 기본개념을 이해했는지 확인해 보기 위해서, 다음 문제를 한 번 풀어 볼까요?

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소수 p 와 자연수 n 에 대하여, 아래의 식이 성립할 때, p + n 의 값을 구하여라.

Find the value of p + n, when a prime number p and a positive integer n satisfy the following equation.

\(\frac{{2048 + 256 + 768}}{{256 + 32 + 96}}\) = pⁿ 

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(1) 우선 합성수를 소수의 곱으로 바꾸고 나서, 약분을 해 주어야 하겠지요?

First, factor the composite numbers to the product of prime numbers and then simplify.

\(\frac{{2048 + 256 + 768}}{{256 + 32 + 96}}\)

= \(\frac{{{2^{11}} + {2^8} + {2^8} \times 3}}{{{2^8} + {2^5} + {2^5} \times 3}}\)

= \(\frac{{{2^8} \times ({2^3} + 2 + 3)}}{{{2^5} \times ({2^3} + 2 + 3)}}\)

(2) 약분해서 간단하게 정리합니다.

After simplifying the fractions, you can find the answer as follows :

= \(\frac{{{2^8}}}{{{2^5}}}\) = 2^8-5 = 2³

∴  p + n = 2 + 3 = 5