1. finite & infinite repeating decimals

소수를 분수로

converting decimals to fractions

"순환소수는 [똑같은 꼬리자르기] 기법으로

쉽게 분수로 바꿀 수 있어요"

" conversion becomes much easier,

by using [same tail] technique "

유한소수와 순환하는 무한소수는 기약분수인 유리수와 관련되어, 중고등수학 전반에서 응용되는 유형으로 자주 출제 됩니다.

특히, 유한소수가 되기 위한 기약분수의 조건 등은 정수와 관련된 심화유형 문제로 연계되어 자주 출제되니, 개념을 철저하게 이해하고 응용력을 키워 두어야 합니다.

또한, 순환하는 무한소수를 분수로 바꾸는 [똑같은 꼬리 자르기] 기법은, 분수식과 무리식에서도 활용되는 기본적이면서도 중요한 방법이니까, 반드시 기본개념을 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

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[ A ] 유한소수

0.273 과 같이 소수점 이하에 0 이 아닌 숫자가 끝이 있는 소수를 유한소수라 합니다.

A finite decimal is the decimal numeral that has only a finite number of decimal places such as 0.273.

0.273 = \(\frac{{273}}{{{{10}^3}}} = \frac{{273}}{{1000}}\) 과 같이 유한소수는 소수점 이하에 0 이 아닌 숫자의 개수만큼, 분모에 10 의 거듭제곱을 해서, 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다.

These finite decimals can always be converted to fractions by multiplying both numerator and denominator by the power(s) of 10, as needed. Therefore, finite decimals are rational numbers. 

이 때, 그 분수의 분모는 10 의 거듭제곱이니까, 약분을 해서 기약분수가 되었더라도, 항상 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있습니다.

As a result, there are only prime factors of 2 and 5 in the denominator of a fraction after reducing it into relative prime.

이번에는 이 개념을 역으로 적용해 볼까요?

\(\frac{{13}}{{2 \times 2 \times 5}}\)와 같이, 어떤 기약분수의 분모가 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있다면, 그 분수는 소수형태로 바꾸었을 때, 항상 유한소수가 됩니다.

Conversely, if there are only prime factors of 2 and 5 in the denominator of the simplest form of a fraction, then this fraction will be expressed as a finite decimal.


왜냐하면, \(\frac{{13}}{{2 \times 2 \times 5}}\)의 분모에 부족한 2 나 5 의 개수만큼을 곱해 준다면, 아래와 같이 분모를 항상 10 의 거듭제곱으로 만들어서, 소수(decimals)로 나타낼 수 있기 때문이지요.

Because we can always make the denominator a power of 10 by multiplying factors of 2 and 5, as needed, as shown below.

\(\frac{{13}}{{2 \times 2 \times 5}} \times \)\(\frac{{{\rm{ }}5{\rm{ }}}}{5}\)

= \(\frac{{13 \times 5}}{{10 \times 10}}\) = 0.65

또 하나, 예를 들어 볼까요?

Let's see one more example.

\(\frac{{69}}{{2 \times 3 \times 5 \times 5}}\)

= \(\frac{{23 \times 3}}{{2 \times 3 \times 5 \times 5}} \times \)\(\frac{{{\rm{ }}2{\rm{ }}}}{2}\)

= \(\frac{{23 \times 2}}{{10 \times 10}}\) = 0.46

위와 같이 분모에 2 나 5 가 아닌 3 이 들어있다 하더라도, 약분한 후에 최종 정리된 기약분수의 분모가, 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있다면, 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

Even when the original denominator has other factors such as 3, as shown above, if the simplest form has prime factors of only 2 and 5 in the denominator, then this fraction can be expressed as a finite decimal.

[ B ] 순환하는 무한소수

그렇다면, 만일 기약분수의 분모에 2 또는 5 이외에 다른 숫자가 있다면, 이 분수는 유한소수가 될 수 있을까요?

분모에 2 또는 5 의 배수가 아닌 다른 소수들이 있는 경우를 볼까요?

Reciprocals of prime numbers other than 2 or 5 are repeating decimals as shown below :

\(\frac{1}{3}\) = 0.333 ... = \(0.\mathop 3\limits^ \bullet  \)

\(\frac{1}{7}\) = 0.142857142857 ... = \(0.\mathop 1\limits^ \bullet 4285\mathop 7\limits^ \bullet  \)

\(\frac{1}{11}\) = 0.090909 ... = \(0.\mathop 0\limits^ \bullet \mathop 9\limits^ \bullet  \)

\(\frac{1}{13}\) = 0.076923076923 ... = \(0.\mathop 0\limits^ \bullet 7692\mathop 3\limits^ \bullet  \)

⋮

등과 같이, 모두 순환하는 무한소수가 됩니다. 진위 문제에서 자주 등장하지만, 순환하는 무한소수는 유리수이고, π = 3.14159⋯ 와 같이 순환하지 않는 무한소수는 무리수라는 것을 반드시 기억해 두기 바랍니다.

Infinite repeating decimals can be converted into fractions and therefore, they are rational numbers. On the other hand, infinite decimals without repeating pattern, such as π = 3.14159⋯, are irrational numbers.

참고로, 우리나라와 중국 등, 동북 아시아에서는 순환마디를 나타낼 때, 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어 0.142857142857 ... = \(0.\mathop 1\limits^ \bullet 4285\mathop 7\limits^ \bullet \) 과 같이 표시하지만, 영미권에서는 점 대신에 순환마디 숫자의 전체 위에 'bar' (vinculum) 을 씌워서 0.142857142857 ... =  \(0.\overline {142857} \) 과 같이 표현합니다.

순환하는 무한소수 (순환소수) 는 유리수이기 때문에, 언제나 기약분수로 나타낼 수 있습니다. 그러면 순환소수를 분수로 나타내는 방법에 대해서 알아 보도록 하지요.

아주 쉽고도 유명한, [똑같은 꼬리 자르기] 기법입니다. 가장 기본적이면서 중요한 방법이니까, 반드시 기억해 두고 활용하기 바랍니다.

The following technique of 'cutting off the infinite tail' will be very useful for converting repeating decimals into fractions.

예를 들어, 0.424242 ... = \(0.\mathop 4\limits^ \bullet \mathop 2\limits^ \bullet  \) 를 볼까요?

(1) 주어진 순환소수를 x 라고 놓습니다.

Let x be the given repeating decimal.

x = 0.424242 ...   ①

(2) 꼬리가 같아지도록, 순환마디의 개수만큼 10 의 거듭제곱을 곱해줍니다.

Multiply power(s) of 10, as needed, in order to make both infinite tails be identical.

100 x = 42.424242 ...   ②

(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

Cut off the same infinite tail by subtraction.

② ‐ ① :  [ 가감법 ]

100 x = 42

∴  x = \(\frac{{42}}{{100}}\) = \(\frac{{21}}{{50}}\)

이번에는 0.821212 ... 을 기약분수로 바꿔 볼까요?

(1) 주어진 순환소수를 x 라고 놓습니다.

Let x be the given repeating decimal.

x = 0.8212121 ...   ①

(2) 꼬리가 같아지도록, 순환마디의 개수만큼 10 의 거듭제곱을 곱해줍니다.

Multiply power(s) of 10, as needed, in order to make both infinite tails be identical.

10 x = 8.212121 ...   ②

1000 x = 821.212121 ...   ③

(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

Cut off the same infinite tail by subtraction.

③ ‐ ② :  [ 가감법 ]

990 x = 821 – 8 = 813

∴  x = \(\frac{{813}}{{990}}\) = \(\frac{{271}}{{330}}\)

[ C ] 순환하는 무한소수를 분수로 고치는 공식

앞에서 배운 내용을, 문자로 일반화시켜 공식으로 정리하도록 할까요?

아래의 공식은 시험 직전에, 문제를 빨리 풀기 위해 참고하는 정도로만 활용하고, 평소에는 가급적 [똑같은 꼬리 자르기] 방법을 이용해서 문제를 풀어야, 응용력이 좋아집니다.

It is recommended to use technique of 'cutting off the infinite tail' rather than this simple formula.

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\(a.b\mathop x\limits^ \bullet  \mathop y\limits^ \bullet   = \frac{{abxy - ab}}{{990}}\)

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(1) 분모에는, 소수점 이하에서, 순환마디 (\(\mathop x\limits^ \bullet  \mathop y\limits^ \bullet  \)) 의 개수만큼 9 를 쓰고, 나머지 순환마디가 아닌 ('b') 개수만큼 9 다음에 이어서 0 을 적는다.

Focus the digits after the decimal point only, and write as many 9's as the number of repeating digits 'xy' followed by as many 0's as the number of non-repeating digits 'b' in the denominator. 

(2) 분자에는, 소수점을 무시하고 전체 숫자 'abxy' 에서 순환마디가 아닌 숫자 'ab' 를 뺀 수를 적어 넣는다.

In the numerator, write down all the number 'abxy' without the decimal point and subtract from it the number prior to repeating digits 'ab'.

(3) 이제, 만들어진 분수를 약분하여 기약분수로 만든다.

Now, reduce to the lowest term by simplification.

공식을 적용하는 예를 보도록 할까요?

The following example shows how to apply the formula.

순환소수 3.8212121 ... = \(3.8\mathop 2\limits^ \bullet \mathop 1\limits^ \bullet  \) 를 공식에 적용하면,

\(3.8\mathop 2\limits^ \bullet \mathop 1\limits^ \bullet  \)

= \(\frac{{3821 - 38}}{{990}}\)

= \(\frac{{1261}}{{330}}\)

또는 간편하게, 3.8212121 ... = 3 + 0.8212121 ... 로 바꾸면,

Or, we can separate the integer part as follows :

3 + \(0.8\mathop 2\limits^ \bullet \mathop 1\limits^ \bullet  \)

= 3 + \(\frac{{821 - 8}}{{990}}\)

= 3 + \( \frac{{271}}{{330}}\)

= \( \frac{{1261}}{{330}}\)