2. basic concept of a set

집합의 기본개념

basic concepts of set theory

"2 또는 3의 배수와 2 그리고 3의 배수의

차이를 아시나요?"

" Do you know
the difference between the multiples of

'2 and 3' and '2 or 3'? "

집합은 수학공부에 기초가 되는 중요한 개념이기 때문에, 표준 교과과정과 관계없이 기본적인 개념과 기호 정도는 반드시 알아두어야 합니다.

합집합 (union / ∪) 과 교집합 또는 공통집합 (intersection / ∩) 의 개념이 반드시 필요하므로, 중 1 처음부터, 최소한의 기본 개념과 집합기호는 벤 다이어그림 (Venn diagram) 등의 시각적 응용력과 함께, 철저하게 익혀 두도록 하여야 합니다.

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앞으로의 수학공부에서 중요하게 사용되는 합집합 (A∪B) 과 교집합 (A∩B) 의 구체적인 예를 좌표평면에서의 부등식의 영역을 통해서 살펴보도록 할까요?

Graphing solution sets on a coordinate plane is one of the typical examples that show how the concept of the union (A∪B) and the intersection (A∩B) can be used in mathematics.

좌표 평면에서, (1) x > 0 and y > 0 와 (2) x > 0 or y > 0 는 서로 어떻게 다른 것일까요?

What will be the difference between (1) x > 0 and y > 0 and (2) x > 0 or y > 0, if we graph these two solution sets on a coordinate plane?

우선, 기본 개념부터 살펴본다면, x > 0 은 아래 그림에서 파란색 영역으로 표시된, x 값이 양(+) 이 되는 I 사분면과 IV 사분면을 나타냅니다.

The graph of the solution set x > 0 is the 1^st and 4^th quadrant, blue (and purple) shaded region as shown below.

또, y > 0 은 아래 그림에서 빨간색 영역으로 표시된, y 값이 양(+) 이 되는 I 사분면과 II 사분면을 나타냅니다.

The solution region of y > 0 is the 1^st and 2^nd quadrant, red (and purple) shaded area as shown below.

(1) 따라서, x > 0 and y > 0 은 I, IV 사분면과 I, II 사분면의 교집합 (A∩B) 으로, 위의 그림에서 보라색의 영역인 I 사분면을 나타냅니다.

The solution set of x > 0 and (∩) y > 0 is the 1^st quadrant, the purple shaded region as shown above.

(2) 또, x > 0 or y > 0 는 I, IV 사분면과 I, II 사분면의 합집합 (A∪B) 으로, 위의 그림에서 보라, 빨강 및 파랑색으로 표시된 I, II, IV 사분면을 나타내게 됩니다.

The solution set of x > 0 or (∪) y > 0 is the 1^st, 2^nd and 4^th quadrant, red, purple and blue color shaded region as shown above.

이번에는 지난 번에 공부했던 배수와 관련해서, 합집합 (A∪B) 과 교집합 (A∩B) 의 차이를 살펴보도록 할까요?

Next, let's examine the difference between the union (A∪B) and the intersection (A∩B) with regard to the multiples of positive integers.

(1) ' 2 또는 3 의 배수 ' 와 (2) ' 2 그리고 3 의 배수 ' 는 서로 어떻게 다른 것일까요?

What will be the difference between the multiples of (1) ' 2 or 3 ' and (2) ' 2 and 3 ' ?

간단하게, 20 미만의 자연수에서 두 가지 경우의 구체적인 숫자들을 아래와 같이 나열해 보도록 할까요?

To make it simple, let's count the actual numbers among the positive integers less than 20 as follows :

2 의 배수 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

3 의 배수 = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

(1) 따라서, '2 또는 3 의 배수' 는 위의 2 가지 경우를 모두 합하는 것이니까, 두 번씩 더해지는 빨간색의 공통되는 6 의 배수는 빼 주어야 하겠지요?

Accordingly, the multiples of ' 2 or 3 ' are the union of two sets.

{2 의 배수} + {3 의 배수} – {6 의 배수}

= {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}

(2) 반면에, '2 그리고 3 의 배수' 는 위의 2 가지 경우에 동시에 해당하는 것이므로, 6 의 배수가 됩니다.

On the contrary, multiples of ' 2 and 3 ' are the union of two sets, that is, multiples of 6.

{6 의 배수}

= {6, 12, 18}

그러면, 다음의 확인 문제도 한 번 풀어 볼까요?

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100 미만의 자연수 중에서, 자연수 k 의 배수의 집합을 \({N_k}\) 라고 정의할 때, 아래의 집합의 원소의 개수를 구하여라.

Let \({N_k}\) be the set of multiples of integer k. How many positive integers less than 100 are the elements of the set specified below?

\(({N_2} \cup {N_3}) - ({N_4} \cap {N_5})\)

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(1) 우선, \({N_2} \cup {N_3}\) 는 2 또는 (∪) 3 의 배수이니까, 그냥 (2 의 배수의 개수) + (3 의 배수의 개수) 를 계산한다면, 공배수인 6 의 배수의 개수는 두 번 더해지겠지요? 따라서 이를 다시 빼주어야 합니다.

If we simply add the numbers of multiples of 2 and the multiples of 3, then common multiples will be counted twice. Therefore, we have to subtract the number of multiples of 6.

49 + 33 – (6 의 배수의 개수)

= 82 – 16

= 66

(2) 또, \({N_4} \cap {N_5}\) 는 4 그리고 동시에 (∩) 5 의 배수이니까, 공배수인 20 의 배수의 개수를 세면 4 개가 되겠지요?

The least common multiple of 4 and (∩) 5 is 20. Therefore, we just count the number of multiples of 20.

∴   66 – 4 = 62

참고로, 자연수를 영어로 표현할 때는, 'counting number', 'natural number', 'whole number'  등을 사용하기도 하지만, 지역에 따라 0 을 포함하는 경우도 있어서, 엄격한 수학적 표현으로는 'positive integers' 라고 하는 것이 좋습니다. 만일, 0 을 포함하는 자연수의 집합을 표현할 때는 'non-negative integers' 라고 하면 됩니다.