8. a matrix A ≠ O such that A^3 = O

A³ = O 이고 A ≠ O인 행렬

a matrix A ≠ O such that A³ = O

"특수한 행렬의 성질은

그 유도과정까지 아예 외워두는게 좋아요"

" it’s better to memorize specific properties

to be prepared for exams "

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고3의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

특히, A³ = O 인 행렬의 성질에 관한 응용 문제들은 [행렬] 단원의 심화 유형에서 자주 출제되고 있습니다. 실전 응용력을 키우기 위하여는, 그 결과만이 아니라 유도 및 증명과정을 완벽하게 이해하고, 기억해 두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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우선 행렬의 판별식 (또는 ‘행렬식’ 이라고 함) 에 대해서 복습해 보도록 할까요?

Let’s review the determinant of a matrix first.

정사각행렬 A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\) 에 대하여, 실수값인 ad – bc 를 판별식 (또는 행렬식) 이라고 합니다.

The determinant is a value of ad – bc, associated with a square matrix A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right)\).

D = det(A) = | A | = ad – bc

(1) 여기서, D = ad – bc = 0 이 되는 행렬 A 는 그 역행렬이 존재하지 않고,

Here, matrix A doesn’t have an inverse if the determinant D = | A | = ad – bc = 0.

(2) D = ad – bc ≠ 0 일 때, 그 역행렬 A^-1 은 아래와 같습니다.

When the determinant D = | A | = ad – bc ≠ 0, it has the following inverse matrix.

A^-1 = \(\frac{1}{{{\rm{ D }}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}d&{ - b}\\{ - c}&a\end{array}} \right)\) = \(\frac{1}{{{\rm{ |A| }}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}d&{ - b}\\{ - c}&a\end{array}} \right)\)

또한, 정사각행렬의 곱에 대한 판별식은 각각의 행렬에 대한 판별식의 곱과 같습니다.

In addition, the determinant of a matrix product of square matrices equals the product of their determinants.

det(AB) = det(A) × det(B)

i.e.

| AB | = | A | x | B |

그러면 이제, (1) A³ = O 이고 (2) A ≠ O 인 두 조건을 동시에 만족하는 행렬 A 의 성질에 관해서 공부하도록 합니다.

Then, we’re going to study a matrix A that satisfies two conditions, (1) A³ = O and (2) A ≠ O.

[ 1 ] A³ = O 이고 A ≠ O 인 행렬 A 는 역행렬이 존재하지 않는다. 왜냐하면 :

This matrix A, defined above, does not have an inverse because :

(1) 두 행렬이 같으면 그 판별식도 서로 같으므로, 주어진 조건식에서,

If two matrices are identical, then their determinants have the same value too.

A³ = O

∴   det(A³) = det(O)

(2) 위 식의 좌변에서, 행렬의 곱에 대한 판별식의 성질을 이용하면,

As mentioned above, the determinant is multiplicative and accordingly,

det(A³) = {det(A)}³

∴   det(A³) = {det(A)}³ = det(O) = 0

(3) 그런데, det(A) 는 실수 값이므로, det(A) = 0. 즉, 행렬 A 의 역행렬은 존재하지 않는다.

Here, det(A) is just a real number value and therefore, det(A) = 0.

이번에는 다른 방법을 사용해서 즉, [귀류법] 혹은 [명제의 대우] 를 이용한 증명을 살펴 볼까요?

We can also prove this by the ways of [proof by contradiction] or [proof by contraposition].

(1) 만일, 행렬 A 의 역행렬이 존재한다고 가정하고, 조건식 A³ = O 의 양변에 역행렬을 곱해 주면,

Let’s assume to the contrary that this matrix A has an inverse. If this is the case, we can multiply inverse matrices as shown below.

A³ × (A^-1)³ = O × (A^-1)³

∴   E = O

(2) 이는 모순이므로, 원래의 명제인 [A³ = O 인 행렬 A 는 역행렬이 존재하지 않는다] 는 참이 됩니다.

This leaves us with a contradiction and therefore, we conclude that this matrix A does not have an inverse.

[ 2 ] 역행렬이 존재하지 않는다면, A³ = (a + d)²A 가 성립한다.

If this matrix A doesn’t have an inverse, then A³ = (a + d)²A

(1) 역행렬이 존재하지 않으면, 판별식 D = det(A) = ad – bc = 0 가 된다는 것을 앞에서 복습했지요?

We already reviewed that the determinant | A | = det(A) = ad – bc = 0 if A^-1 doesn’t exist.

(2) 따라서, 앞에서 배운 [케일리-헤밀턴 정리] 에서,

Accordingly, we can reshape the Cayley-Hamilton equation as follows :

A² – (a + d)A + (ad – bc)E

= A² – (a + d)A = O

∴ A³ = A² x A                 

= (a + d)A x A

= (a + d)A²     

= (a + d)²A    

[ 3 ] 따라서, A² = A³ = ⋯ = Aⁿ = O 이 된다.

Therefore, we can conclude that A² = A³ = ⋯ = Aⁿ = O.

(1) 위의 식에 대입하면, 주어진 조건에서,

If we apply given conditions to the equation, then :

A³ = (a + d)²A = O

∴   a + d = 0   or   A = O    

(2) 따라서, A ≠ O 이라 하더라도 a + d = 0 이 되므로,

We get a + d = 0 even when A ≠ O and accordingly,

A² = (a + d)A = 0 x A = O

(3) 뿐만 아니라, A ≠ O 이라 하더라도 Aⁿ = O (n ≥ 2).

In addition, we can conclude Aⁿ = O even when A ≠ O (n ≥ 2).

Aⁿ = A^n-2 x A²

Aⁿ = A^n-2 x (a + d)A

Aⁿ = A^n-3 x (a + d)A²

Aⁿ = A^n-3 x (a + d)²A

⋮

Aⁿ = (a + d) ^n-1A

∴   Aⁿ = 0 x A = O

그러면 하나의 공식으로 정리해 둘까요? 실전 응용력을 키우기 위하여는 이 결과만이 아니라 유도 및 증명 과정까지를 완벽하게 이해하고, 기억해 두기 바랍니다.

Let’s summarize, in general term, what we have learned then. Please try to remember the logical proof procedures as well as the simple result.

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Aⁿ = O (n ≥ 2) 이고 A ≠ O 인 행렬 A 에 대하여,

For any square matrix A such that Aⁿ = O (n ≥ 2) and A ≠ O,

(1) A 의 역행렬은 존재하지 않는다

A^-1 does not exist.         

(2) Aⁿ = (a + d)^n-1A                   

  

(3) a + d = 0                              

  

(4)  ∴  Aⁿ = O (n ≥ 2)                

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보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

Let’s try a worked example.

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A⁵ = O 이고 A ≠ O 인 2 x 2 정사각행렬 A 에 대하여, A² = O 의 진위 여부를 주관식 서술형으로 판별하여라.

Determine whether A² = O is true or not when 2 x 2 square matrix A satisfies the conditions, A⁵ = O and A ≠ O. 

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(1) 위에서 공부했던 대로, 행렬 A 의 역행렬이 존재하지 않으므로, [케일리-헤밀턴 정리] 를 이용하면,

A^-1 does not exist and accordingly, if we reshape the Cayley-Hamilton theorem,

ad – bc = 0

∴   A² = (a + d)A

(2) 이 결과를 주어진 식에 대입하여 정리하면,

If we apply given conditions to the equation and simplify,

A⁵ = (a + d)⁴A = O

∴   a + d = 0

∴   A² = (a + d)A = 0 x A = O