9. zero divisor matrices

영인자 행렬

single entry matrices

"행렬 진위문제에서 유명한

악동 4형제와 그 사촌들을 소개합니다"

“ Let me introduce ‘brat 4 brothers’ “

원래 행렬을 배우는 표준 수학의 본질에서는 다소 벗어나 있지만, 우리나라 고3의 수능이나 모의고사 문제에서는, 행렬의 연산에서 지나치게 어려운 유형이나 진위 유형이 자주 출제됩니다.

특히, 실수의 성질과는 다르게도, 영행렬이 아니면서도 곱하면 영행렬이 되는 영인자 행렬은, [행렬] 단원의 진위 유형에서 수시로 출제되고 있습니다.

실전 응용력을 키우기 위하여는, 그 결과만이 아니라, 대표적인 반례들과 유도과정을 완벽하게 이해하고, 기억해 두기 바랍니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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실수범위에서, 인수분해가 되는 방정식을 푸는 원리 등에서 귀가 따갑게 익혀 왔던, [ ab = 0 이면 a = 0 또는 b = 0 ] 이라는 원리가, 행렬에서도 그대로 적용이 될까요?

We are very familiar with zero-product property, i.e. [ if ab = 0, then a = 0 or b = 0 ] in real number algebra. Will this be correct even in matrix operations?

물론, 너무나 많이 들어서, 거의 대부분의 학생들은 외우고 있겠지만, 당연히 아닙니다.

Of course, this is not true in matrix operations, which should be basic knowledge in studying matrices.

이러한 반례를 하나 들어 보도록 할까요?

Let’s see one of these counter examples.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&2\end{array}} \right)\) x \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) = O

이렇게 자기자신은 영행렬이 아니면서, 곱하면 영행렬의 결과를 만드는 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&2\end{array}} \right)\) 또는 \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\) 와 같은 행렬들을 영인자 또는 영인자 행렬이라 부릅니다.

As shown above, when the product of two matrices equals zero matrix and yet neither of them is zero matrix such as \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&2\end{array}} \right)\) or \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right)\), we might call them ‘zero divisor matrices'.

이러한 영인자 행렬들은, 우리가 실수 범위의 연산에서 너무나 익숙하게 익혀 왔던, [ ab = 0 이면 a = 0 또는 b = 0 ] 과 같은 원리를 무력화시켜 버리지요.

These zero divisor matrices make inactive the zero-product property, i.e. [ if ab = 0, then a = 0 or b = 0 ] that we are so accustomed to.

따라서, [행렬] 단원의 진위형 문제 등에서 수시로 출제되기 때문에, 상위권 학생들이라도, 몇 가지 대표적인 반례의 행렬들은 반드시 외워둘 필요가 있습니다.

Therefore, we need to memorize some of counter examples to be well prepared for true or false questions in [ matrix ] exams.

그래서, 오늘은 여러 유형의 반례에 자주 활용되는, [행렬] 단원에서 유명한 [악동 4형제] 를 소개하고자 합니다.

In this regard, I’d like to introduce well known [brat 4 brothers] which are very useful in finding counter examples.

우선, 이름을 P, Q, R, S 라고 붙이고, 어떻게 생긴 녀석들인지 한번 볼까요? 분명히 영행렬 들은 아니지요?

Let’s see who they are. They are not zero matrix but single entry 2 x 2 matrices.

P = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\)

Q = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\)

R = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right)\)

S = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&1\end{array}} \right)\)

그러면, 이 [악동 4형제] 들이 만들어 내는 여러 가지 반례들을 하나씩 살펴볼까요?

Let’s investigate the counter examples that these [brat 4 brothers] produce then.

[ 1 ] AB = O 이면 A = O 또는 B = O  ☞  거짓

If AB = O, then A = O or B = O  ☞  false

(1) [악동 4형제] 를 P = A, R = B 에 대입해 보면, P 와 R 중 어느 것도 영행렬이 아닌데도 불구하고,

If we substitute A and B with non-zero matrices [brat 4 brothers] P and R respectively, then :

P(≠ O) x R(≠ O)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\) x \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) = O

(2) 참고로, 이 명제는 역행렬이 존재할 때는 참이 된다는 점에 주의해야 합니다. 당연히 [악동 4형제] 들은 역행렬이 존재하지 않으니까, 논외로 해야겠지요?

You have to be very careful that this statement will be true when A or B has an inverse matrix. Naturally, [brat 4 brothers] do not have an inverse matrix.

(3) 증명을 통해서 진위를 판별해 볼까요? 만일, A^-1 이 존재한다고 가정하고, 양변의 왼쪽에서 그 역행렬을 곱해주면,

Let’s investigate the case when a matrix A has an inverse. If A^-1 exists, then multiply both sides from the left side :

AB = O

A^-1 x AB = A^-1 x O

A^-1A x B = O

EB = 0

∴  B = O

[ 2 ] A² = O 이면 A = O  ☞  거짓

If A² = O, then A = O  ☞  false

(1) 위 식의 A 대신에 R 을 대입해 보면, R 은 영행렬이 아닌데도 불구하고,

If we substitute A with non-zero matrices [brat 4 brothers] R, then :

{R(≠ O)}²

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right)\) x \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) = O

[ 3 ] (AB)² = A²B² 이면 AB = BA  ☞  거짓

If (AB)² = A²B², then AB = BA  ☞  false

(1) [악동 4형제] 를 P = A, Q = B 에 대입해 보면,

If we substitute A and B with [brat 4 brothers] P and Q respectively, then :

P x Q

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\) x \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\)

(2) 따라서, 좌변의 식을 계산해 보면,

Therefore, if we calculate the left side of a given equation,

(AB)² = (PQ)²

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\) x \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) = O

(3) 또, P² 과 Q² 을 계산해서 우변의 식을 계산해 보면,

If we calculate the right of given equation with , P² and Q²,

P² = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\) x \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\)

Q² = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\) x \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) = O

∴   P² x Q² = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\) x O = O

(4) 즉, 가정인 (PQ)² = P²Q² 은 성립하지만, PQ ≠ QP 로서 반례가 됩니다.

Accordingly, the hypothesis (PQ)² = P²Q² is true but the conclusion PQ ≠ QP contradicts the statement.

Q x P

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\) x \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\)

= \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) = O

∴   PQ ≠ QP

[ 4 ] (AB)² = (BA)² 이면 AB = BA  ☞  거짓

If (AB)² = (BA)², then AB = BA  ☞  false

(1) [악동 4형제] 를 P = A, Q = B 에 대입해 보면, 앞에서 이미 계산해 보았던 대로,

If we substitute A and B with [brat 4 brothers] P and Q respectively, then we will have the same result, as shown above.

(PQ)² = (QP)² = O

(2) 그러나, 앞에서 계산한 보았던 대로, 결론은 PQ ≠ QP 인 반례가 됩니다.

Again, as we’ve already calculated this result on the above,

PQ = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right)\) ≠ \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) = QP

[ 5 ] AC = BC 이면 A = B  ☞  거짓

If AC = BC, then A = B  ☞  false

(1) 주어진 식을 이항해서 정리해 본다면 (A – B) x C = O 의 형태가 되므로, 위의 [ 1 ] 번 유형에서 [ ab = 0 이면 a = 0 또는 b = 0 ] 이라는 원리가, 행렬에서는 성립하지 않는다고 배운 것과 똑같지요?

If we reshape the left side of a given equation, then we can notice this is identical to type [ 1 ] investigated above. Accordingly, the zero-product property does not hold.

(2) 즉, [악동 4형제] P = A – B, Q = C 가 되도록 알맞은 행렬을 찾아내면 쉽게 반례를 만들 수 있습니다.

In other words, if we find matrices A, B and C such that P = A – B & Q = C, then we can simply apply the properties of [brat 4 brothers] as shown above.

P = A – B = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&0\end{array}} \right)\)

e.g.

if A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&1\end{array}} \right)\) &  B = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&1\end{array}} \right)\)

or

 A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\2&2\end{array}} \right)\) &  B = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&2\end{array}} \right)\) ...

더 연구해 보고 싶다면, 이번에는 [악동 4형제] 들의 사촌들인 1 이 2개이고 나머지가 0 이 되는 행렬들로 반례들을 하나씩 만들어 보면 됩니다.

If you are interested in counter example matrix, then you can investigate further with the following matrices where only two elements are 1 and the rest are 0.

J = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right)\)

K = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&1\end{array}} \right)\)

L = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&1\end{array}} \right)\)

M = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\1&0\end{array}} \right)\)

특히, 단위행렬과 대칭의 모습인 아래의 행렬은 [일차변환과 행렬] 단원의 대칭변환 문제에서 자주 등장하니까, 보다 심도 있는 다양한 연구를 스스로 해보기 바랍니다.

Especially, the following matrix has a mirror image of identity matrix I₂, which we will study further in advanced level [linear transformation & matrices].

N = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}} \right)\)