5. calculate square roots

제곱근값 구하기

calculate square roots

"부등식을 이용한 제곱근 근사값 계산은

응용력을 키우는 데 아주 좋아요"

" ‘guess & check’ method of finding square root

is very helpful to foster flexible thinking "

이번에는, 계산기의 도움 없이 수작업으로 제곱근의 값을 계산하는 방법을 배워 보도록 합니다.

This time, we’re going to learn how to compute and find the real square root value of a number manually.

물론 대부분의 수학책은 제곱근표를 후미에 포함시키고 있을 뿐만 아니라, 요즘은 누구나 전자기기의 계산기 기능을 사용하기는 합니다.

Most of math books include square roots table or we can simply use calculator (function) these days.

그러나, 고등수학 과정의 시험 등에서는 계산기의 도움이 없이도 대략적인 제곱근의 근사값 정도는 알아내야 하는 경우가 많습니다.

In spite of this situation, we have to, from time to time, figure out approximate value manually in advanced level exams.

특히, 부등식을 이용한 제곱근의 근사값 계산은 상위 수학을 공부하는 데 많은 응용력을 키워줄 것입니다.

Especially, [ guess & check ] method of finding the value of square roots will be very helpful to build your flexible thinking skill.

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먼저, 가장 가까운 제곱수를 추정해서 √ 5  의 근사값을 구하는 방법을 알아 보도록 할까요?

Let’s try to find out an approximate value of √ 5  using [ guess & check ] method.

(1) (완전) 제곱수가 √ 5  의 제곱인 5 에 가까운 자연수를 생각해 냅니다.

First, square the guess such that the squared value of a natural number to be as close as possible to 5.

2² = 4 < √ 5  x √ 5  = 5 < 3² = 9

∴   √ 5  = 2.xxx

(2) 2² = 4 가 5 에 더 가까웠으니까, 2.5 보다는 작은 2.3 정도의 값으로 일단 정해서 제곱을 해 본 다음에, 5 에 가장 가까워 지도록 소수 첫째 자리를 조정해 줍니다.

2² = 4 was closer than 3² = 9. Accordingly, let’s guess, for instance, 2.3 ( < 2.5 ) and check the squared value and then adjust the first decimal digit.

(2.3)² = 5.29 > 5

(2.2)² = 4.84 < 5

2.2 < √ 5  < 2.3

∴   √ 5  = 2.2xxx

(3) 이번에는 2.2² = 4.84 가 5 에 더 가까웠으니까, 2.25 보다는 작은 2.24 정도의 값으로 일단 정해서 제곱을 해 본 다음에, 5 에 가장 가까워 지도록 소수 둘째 자리를 조정해 줍니다.

2.2² = 4.84 was closer than 2.3² = 5.29. Again, let’s guess, for instance, 2.24 ( < 2.25 ) and check the squared value and then adjust the second decimal digit.

(2.24)² = 5.0176 > 5

(2.23)² = 4.9729 < 5

2.23 < √ 5  < 2.24

∴   √ 5  = 2.23xxx

(4) 이런 방법으로 계속해 나가면 √ 5  의 값을 보다 정확하게 계산해 낼 수 있습니다만, 실제로는 소수점 이하 둘째 자리까지만 근사값으로 구해 내더라도 충분합니다.

If you repeat this [ guess & check ] process, then you can find more precise value of √ 5 . In practice, normal desired accuracy would be up to two decimal digits.

이번에는, 손으로 마치 나눗셈을 하듯이 제곱근의 값을 구하는 방법을 알아 보도록 할까요?

Next, we’re going to learn an algorithm for square roots, which is similar to long division process.

앞에서 부등식을 이용한 근사값으로 구했던 √ 5  를 계산해서 검산해 보도록 합시다.

Let’s calculate √ 5  again in long division method and check if the value we found on the above was correct.

루트계산은 제곱의 단위로 생각해야 하니까, 십진법에서는 소수점을 기준으로 해서 10² = 100 단위로 계산해 나갑니다.

Root calculation needs squared concept and therefore, we will use 10² = 100 units from decimal mark, per each division process.

(1) 소수점을 기준으로 첫 100 단위는 5 이니까, 아래에 나타낸 나눗셈의 방법과 유사하게, 제곱수가 5 이하에서 최대가 되는 자연수 2 를 왼쪽에 수직으로 나란히, 그리고 몫의 자리에 적어 넣습니다.

The first 100 units from decimal mark has 5. Find the maximum number 2 such that the square 2² is less than or equals to 5 and write the quotient and also vertically on the left side as shown below.

(2) 5 에서 2 x 2 = 4 를 빼주고 남은 1 을, 다시 100 단위가 되는 소수점 이하 둘째 자리까지 확장해서 100 으로 놓습니다.

The remainder 1 will be combined with the next 100 units up to the second decimal point and then makes 100.

                          2.    2    3    6         

       2               ) 5.|0 0|0 0|0 0|0 0|

       2                 4       

       42               1.|0 0

         2                   8 4       

       443                 1 6|0 0

           3                 1 3 2 9       

       4466                  2 7 1|0 0

             6                  2 6 7 9 6       

          ⋯                          3 0 4|0 0 

(3) 위의 계산식에서 4 의 오른쪽과 그 밑에 같은 숫자를 넣어, 4O x O 의 곱셈을 한 결과가, 남은 100 이하에서 최대가 되는 자연수 2 를 수직으로 나란히, 그리고 몫의 자리에 적습니다.

Find one digit number O such that 4O x O becomes the maximum value not exceeding 100. Write the quotient O = 2 and also vertically on the left side as shown above.

  

(4) 이런 방법으로 계속해 나가면 √ 5  = 2.236 ⋯ 의 원하는 만큼의 정확한 계산 결과를 얻을 수 있습니다. 무리수이니까 당연히 끝없이 계속되겠지요?

If you repeat this process until you get the desired accuracy, then you can find the value of √ 5 . Of course this process will continue infinitely because √ 5  is an irrational number.

중3 이상 또는 고등학생이라면, 제곱근표를 보거나 계산기를 쓰지 않고도, √ 2  와 √ 3  의 근사값 정도는 반드시 외워 두어야 합니다.

√ 2  = 1.414 ⋯

√ 3  = 1.732 ⋯