3. GCF and LCM

최대공약수와 최소공배수

GCF and LCM

"두 정수의 최대공약수와 최소공배수를 곱하면

그 두 수의 곱과 같아요"

" product of any two integers

is equal to

the product of their associated GCF and LCM "

인수, 약수와 배수 그리고 최대공약수와 최소공배수의 기본 개념과 원리는 중등수준의 정수 범위에서 만이 아니라,

문자로 일반화시키면 곱셈공식과 인수분해의 기초원리가 되는 것이며, 분수식의 계산이나 고등수학의 다항식에서도 그대로 적용됩니다.

특히, 정수와 관련된 문제는, 중고등수학 전반에 걸쳐 난이도가 높은 심화문제로 결합되어 수시로 출제되니, 정확하게 이해하고 응용력을 키워두어야 합니다.

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앞의 [약수와 배수] 단원에서 배웠던 것을 복습해 볼까요?

Let's review what we have learned earlier in [factors & multiples] section.

90 과 132는 소인수로 분해하면 90 = 2 x 3² x 5 이고, 132 = 2² x 3 x 11 이니까,

If we factorize 90 and 132 into the product of primes, then 90 = 2 x 3² x 5 and 132 = 2² x 3 x 11.

교집합 (∩) 의 개념을 이용해, 90 그리고 동시에 132 가 동시에 갖고 있는 약수 중에서 가장 큰2 x 3 = 6을 최대공약수 (G), 그리고 합집합 (∪) 의 개념을 이용해, 90 또는 132 를 포함할 수 있는 배수 중에서 가장 작은 2² x 3² x 5 x 11 을 최소공배수 (L) 라 한다는 것을 배웠습니다.

Also, we learned that G (90, 132) = 2 x 3 = 6 is the largest positive integer that divides both 90 and (∩) 132 and L (90, 132) = 2² x 3² x 5 x 11 = 1980 is the smallest positive integer that is divisible by both 90 or (∪) 132.

이제, 이 구조를 좀 더 자세히 살펴 보기 위해서, 두 수와 L 을 G 를 사용해서 다시 표현해 보도록 할까요?

Now, let's investigate this structure in more depth by rephrasing L and G, as follows :

90 = 3 x 5 x G

132 = 2 x 11 x G

L = 2² x 3² x 5 x 11

= 2 x 3 x 5 x 11 x G

따라서, 계산되는 구조를 보면, 다음과 같은 규칙을 발견할 수 있습니다.

Therefore, if we scrutinize the process of calculations, then we will find :

90 x 132

= (3 x 5 x G) x (2 x 11 x G)

= 2 x 3 x 5 x 11 x G x G

= 2 x 3 x 5 x 11 x G²

= L x G

알아낸 이 내용을, 문자로 일반화시켜 볼까요?

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두 정수 A, B 의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L 이라 할 때, A = a x G 그리고 B = b x G (a, b 는 서로 소) 라고 놓으면,

Let G, L be the greatest common factor and the least common multiple of two integers A and B, respectively. If we assume that A = a x G and B = b x G (where a, b are relatively prime),

(1) A x B = L x G 이고,                              

(2) G²  은 A x B 의 약수 (factor of A x B) 

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이 원리를 이용하는 예제를 살펴 볼까요?

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서로소가 아닌 두 자연수 A, B (A > B) 의 곱이 726 일 때, 두 수 A, B를 구하여라.

When the product of A and B (where A > B), which are not relatively prime, equals 726, find positive integers A and B. 

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(1) 앞에서 배운 대로, 우선 726 을 소인수 분해 해야겠지요?

First of all, we'll have to factorize the composite 726 to the product of prime numbers.

726 = 2 x 3 x 11²

(2) 두 수의 곱에는 G² 가 포함되어 있으니까, G = 11 이고, 나머지가 서로소인 a, b 의 곱이겠지요?

Product of two numbers must have a factor G² and therefore, G = 11 and a x b = 2 x 3.

(3) 서로소인 a, b 는 3 과 2 뿐만이 아니라, 6 과 1 도 있네요! 따라서, 구하는 두 자연수는,

Relatively prime pairs of (a, b) could be (3, 2) ... and (6, 1) too! Accordingly, two positive integers are :

A = 3 x 11 = 33, B = 2 x 11 = 22 또는

A = 6 x 11 = 66, B = 1 x 11 = 11 이므로,

답은 (A, B) = (33, 22) or (66, 11).