2. multiplication & division of square roots

제곱근 식의 계산

square root arithmetic

"계산력이 튼튼해야 뼈아픈 실수를 줄일 수 있어요"

" basic calculation skills are essential

to avoid stupid math mistakes "

제곱근 식의 계산은 루트기호 안의 제곱수를 찾아내는 암산능력을 필요로 하므로, 중학시절에 반드시 갖추어 두어야 할 기본적인 계산연습의 대표적인 단원입니다.

제곱수를 쉽고 빠르게 찾아 내기 위하여는 부분적인 소인수분해를 암산으로 해내는 능력을 키워야 하기 때문에 부단한 연습과 노력도 필요합니다.

특히, 근호가 포함되는 나눗셈인 루트가 포함된 분수식의 계산에 있어서는 단순하게 분자와 분모를 따로 따로 기계적으로만 계산하는 것이 아니라,

앞에서 누차 강조한 대로, 분모와 분자의 루트로 표현되어 있는 공통인수를 암산으로 재빨리 찾아 내서 간단히 약분해 버리는 요령을 익혀 두어야, 쉽고 빠르게 계산해 낼 수가 있습니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는, 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실인 바, 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

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[ 1 ] 제곱근의 곱셈 (multiplication of square roots)

예를 들어, √ 2  x √ 3  을 하나의 루트 기호로 나타낸다면, √ 5  와 √ 6  중에서 어떤 것이 맞는 것일까요?

For instance, which one will be the right answer between √ 5  and √ 6 , if we calculate √ 2  x √ 3 ?

직접 판단하기가 어렵다면 [ 양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A² = B² 은 동치 즉, 필요충분조건 ] 이라는 것을 이용해서 확인해 보면 되겠지요?

If it’s not easy to check the values of square roots directly, then we can compare them by using the equivalence relation, [ A = B if and only if A² = B² for non-negative A and B ].

(√ 2  x √ 3 )²

= (√ 2  x √ 3 ) x (√ 2  x √ 3 )

=  (√ 2  x √ 2 ) x (√ 3  x √ 3 )

= 2 x 3

i.e.  (√ 2  x √ 3  )² = 2 x 3

∴   √ 2  x √ 3  = √ 2 x 3  =√ 6 

이 성질을 이용해서, 간단한 제곱근 곱셈의 보기 계산을 해 보도록 할까요?

Let’s try some examples of multiplying square roots using this property.

(1) √ 2  x √ 6 

= √ 2  x (√ 2 x 3 )

= √ 2  x (√ 2  x √ 3 )

= (√ 2  x √ 2 ) x √ 3 

= 2√ 3 

(2) √ 2  x √ 6  x √ 15 

= √ 2  x (√ 2 x 3 ) x (√ 3 x 5 )

= √ 2  x (√ 2  x √ 3 ) x (√ 3  x √ 5 )

= (√ 2  x √ 2 ) x (√ 3  x √ 3 ) x √ 5 

= 2 x 3 x √ 5 

= 6√ 5 

이번에는, 조금 더 복잡한 제곱근의 곱셈 계산도 해 보도록 할까요?

Let’s try a little more complicated multiplication of square roots then.

√ 18  x √ 45  x √ 48 

= (√ 2  x √ 9 ) x (√ 5  x √ 9 ) x (√ 3  x √ 16 )

= (√ 9  x √ 9 ) x (√ 2  x √ 5  x √ 3 ) x √ 16 

= 9 x (√ 2 x 5 x 3 ) x 4

= 36√ 30 

[ 2 ] 제곱근의 나눗셈 (division of square roots)

같은 원리로 제곱근의 나눗셈도 간단히 할 수 있습니다. 앞에서 배운 [ 양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A² = B² 은 동치 ] 라는 것을 이용해서 스스로 확인해 보도록 하세요.

In the same way, we can divide square roots. This time, you can check them by yourself using the equivalence relation again, [ A = B if and only if A² = B² for positive(+) A and B ].

\({\left( {\frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\sqrt {\rm{3}} }}} \right)^{\rm{2}}}\)

= \(\frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\sqrt {\rm{3}} }}\) x \(\frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\sqrt {\rm{3}} }}\)

= \(\frac{{\sqrt {\rm{2}}  \times \sqrt {\rm{2}} }}{{\sqrt {\rm{3}}  \times \sqrt {\rm{3}} }}\)

= \(\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\)

= \(\sqrt {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \) x \(\sqrt {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \)

= \({\left( {\sqrt {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} } \right)^{\rm{2}}}\)

∴   √ 2  ÷ √ 3  = \(\frac{{\sqrt {\rm{2}} }}{{\sqrt {\rm{3}} }}\) = \(\sqrt {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \)

이번에도, 조금 더 복잡한 제곱근의 나눗셈 계산을 해 보도록 할까요?

Again, let’s try a little more complicated division of square roots using this quotient property.

5√ 24  ÷ √ 30 

= 5 x \(\sqrt {\frac{{{\rm{24}}}}{{{\rm{30}}}}} \)

= 5 x \(\sqrt {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{5}}}} \)

= 5 x \(\frac{{\rm{2}}}{{\sqrt {\rm{5}} }}\)

= (√ 5  x √ 5 ) x \(\frac{{\rm{2}}}{{\sqrt {\rm{5}} }}\)

= (√ 5  x 2) x \(\frac{{\sqrt {\rm{5}} }}{{\sqrt {\rm{5}} }}\)

= 2√ 5 

* 참고로, 위의 계산과정에서 붉은 색으로 표시된 것과 같이, 양수(+) 의 경우에는 5 = √ 5  x √ 5  가 되는 성질을 이용해서 공통인수 제곱근을 찾아낸 다음, 먼저 약분해 버리는 방법을 알아 두면 아주 편리합니다.

* As shown in red above, it’s very convenient and much easier to simplify square root fractions if we use the property 5 = √ 5  x √ 5  for positive(+) numbers.

그러면, 배운 내용을 문자로 일반화시켜서, 공식으로 정리해 두도록 할까요?

Let’s summarize what we have learned in general expressions as follows :

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음(–) 이 아닌 실수 A 와 양(+) 의 실수 B 에 대하여,

For any non-negative A and positive real number B,

(1) product property of square roots

√ A  x √ B  = √ A x B 

(2) quotient property of square roots

\(\frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) = \(\sqrt {\frac{A}{B}} \)

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* 참고로, 루트기호는 분수지수로 나타낸다면 ½ 이 되니까, 위의 (1) 과 (2) 공식은 [ 지수법칙 ] 의 특수한 경우에 해당한다고 볼 수 있습니다.

* For your reference, square roots can also be expressed in fractional exponent of ½ and therefore, the rules (1) and (2) can be considered as special cases of [ Laws of index ].

(1) A^½ x B^½ = (A x B) ^½

(2) A^½ ÷ B^½ = \(\frac{{{\rm{ }}{{\rm{A}}^{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}}}}}{{{\rm{ }}{{\rm{B}}^{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}}}}}\) = \({\left( {\frac{{\rm{A}}}{{\rm{B}}}} \right)^{\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}}}\)

그러면, 관련된 연습 문제들을 풀어 보도록 할까요?

Let’s try to solve some related exercises then.

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√ 0.2  = A, √ 0.3  = B 라 할 때, 6 을 A 와 B 로 나타내어라.

Express 6 in terms of A and B when we define √ 0.2  = A and √ 0.3  = B.

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(1) 6 을 0.2 와 0.3 의 곱으로 나타내는 것이 가장 편한 방법이겠지요?

It will be an easier way if we express 6 as the product of 0.2 and 0.3 first.

6 = 0.2 x 0.3 x 100

= (√ 0.2 )² x (√ 0.3 )² x 100

= (A)² x (B)² x 100

∴  6 = 100A²B²

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아래의 식을 만족하는 자연수 N 의 값을 구하여라.

Find the value of positive integer N that satisfies the following equation.

√ 38.4  x √ 2N  x √ 6  x √ 5N  = 144

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(1) 우선, 좌변에 복잡한 수인 38.4 를 소수점을 무시하고 소인수로 분해해 보아야 하겠지요?

First of all, we will have to factorize the complex number 38.4 into the product of prime numbers.

384 = 2⁷ x 3

∴  √ 384  = 2³ x √ 2  x √ 3 

(2) 이제, 주어진 식의 좌변을 위에서 배운 제곱근의 성질을 이용해서 간단히 하면,

Now, let’s simplify the left side of a given equation using the properties of square roots.

√ 38.4  x √ 2N  x √ 6  x √ 5N 

= √ 384  ÷ √ 10  x √ 2  x √ N  x √ 6  x √ 5  x √ N 

= (2³ x √ 2  x √ 3 ) x (√ 2  x √ 5  ÷ √ 10 ) x √ 6  x N

= 2³ x 6 x N

(3) 따라서, 주어진 식에 대입하여 답을 구하면,

Therefore, the right answer will be :

2³ x 6 x N = 144

∴  N = 3