4. repeating decimals expressed in letter form
문자로 표시된 순환소수
repeating decimals expressed in letter form
" 두자리 수 ab를 식으로 나타내면
10a + b "
" 2-digit number 'ab'
should be expressed as
10a + b "
중고등수학에서의 상위권 실력을 갖춘다는 것은, 문자로 표시되는 일반화, 추상화, 기호화의 개념을 충분히 익혀서 자기 것으로 만들고, 유사한 문제를 만났을 때, 이 개념들을 이용해, 해결해 나갈 수 있는 응용력을 키우는 것입니다.
순환하는 무한소수가 숫자 대신에 문자로 주어지는 경우, 많은 학생들은 크게 당황하게 됩니다만, 이 때에도 앞에서 공부한 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 그대로 활용하면 됩니다.
반드시 기본개념을 확실하게 이해하고 익혀 둔 다음에, [순환소수를 분수로 바꾸는 공식] 은 시험에 대비한 시간절약의 목적으로 이용하는 것이 바람직합니다.
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숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배웠던 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.
When repeating decimals are given in letter form, we can use technique of 'cutting off the infinite tail' to convert
them into fractions, same as numbers are given.
다만, 문자로 표시했을 때, 정수 부분의 자릿수를 표시할 때는, 아래에 예를 든 것과 같이, 주의를 해야만 합니다.
But, you have to be careful to express them in decimal
forms, as the examples shown below.
ab = 10a + b
ba = 10b + a
ab.c = 10a + b +
\(\frac{c}{{10}}\)
이제, 예제를 풀어 보도록 할까요?
Then, let's start to solve an exercise.
한 자리의 자연수 a 가, 아래의 부등식을 만족한다고 할 때, a 의 값을 구하여라.
Find the one digit number 'a' that satisfies the
following inequalities.
\(\frac{7}{{12}}\)
< 0.\(\mathop a\limits^ \bullet \) < \(\frac{7}{{10}}\)
(1) 숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배운 대로 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.
Even when repeating decimals are given in letter form, we can use technique of 'cutting off the infinite tail' to convert
them into fractions.
(2) x = 0.\(\mathop a\limits^ \bullet \) 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, 양변에 10
을 곱해 주면 되겠지요? a 는 한 자리수이니까, 숫자와 똑같이 계산하면 됩니다.
Let x be the given repeating decimal and multiply by
10, in order to make both infinite tails be the same.
x
= 0.\(\mathop a\limits^ \bullet \) ⋯ ①
10x = \(a.\mathop
a\limits^ \bullet \) ⋯ ②
(2) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
Cut off the same infinite tail by subtraction.
② ‐ ① : [ 가감법 ]
9
x = a
∴ x
= \(\frac{a}{{{\rm{
}}9{\rm{ }}}}\)
(3) 이제, 주어진 부등식에 대입한 후에, 분모들의 최소공배수 180을 곱해 주면,
Replace given inequalities with this fraction and multiply each side of
them by LCM 180.
\(\frac{7}{{12}}{\rm{ }}
< {\rm{ }}\frac{a}{9}{\rm{ }} < {\rm{ }}\frac{7}{{10}}\)
105 < 20a <
126
5.25
< a < 6.3
∴ a
= 6
이번에는, 조금 더 어려운 예제를 풀어 볼까요?
This time, we'll try a little bit more difficult one.
p
< q 인, 한 자리의 자연수 p 와 q 가 아래의 식을 만족할 때, p 와 q 의 값을 구하여라.
Find the value of one digit numbers 'p' and 'q' (p < q), when they
satisfy the following equation.
0.\(\mathop p\limits^ \bullet \mathop q\limits^ \bullet \) + 0.\(\mathop q\limits^ \bullet \mathop p\limits^ \bullet \) =
0.\(\mathop 4\limits^ \bullet \)
(1) 숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배운 대로 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.
Even when repeating decimals are given in letter form, we can use technique of 'cutting off the infinite tail' to convert
them into fractions.
(2) x = 0.\(\mathop p\limits^ \bullet \mathop q\limits^ \bullet \) 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, 양변에 100
을 곱해 주면 되겠지요? p 는 한 자리수이니까, 숫자와 똑같이 계산하면 됩니다.
Let x be the given repeating decimal and multiply by
100, in order to make both infinite tails be the same.
x
= 0.\(\mathop p\limits^ \bullet \mathop q\limits^ \bullet \) ⋯ ①
100
x = 10p + q + 0.\(\mathop p\limits^ \bullet \mathop q\limits^ \bullet \) ⋯ ②
(2) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
Cut off the same infinite tail by subtraction.
② ‐ ① : [ 가감법 ]
99
x = 10p + q
∴ x
= \(\frac{{10p + q}}{{99}}\)
(3) 같은 방법으로, 나머지 문자표시 순환소수도 분수로 바꿔 주면,
If we convert the rest into fractions, in the same method,
0.\(\mathop q\limits^ \bullet \mathop p\limits^ \bullet \) = \(\frac{{10b + a}}{{99}}\)
0.\(\mathop 4\limits^ \bullet \) = \(\frac{4}{9}\)
(4) 이제, 주어진 식에 대입한 후에, 간단하게 정리하면,
Replace given equation with these fractions and simplify,
\(\frac{{10p + q}}{{99}} +
\frac{{10q + p}}{{99}} = \frac{4}{9}\)
∴ p + q = 4
∴ (p,
q) = (1, 3)
마지막으로, 문자로 표시된 아래의 순환소수를 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용해서 분수로 나타내 볼까요?
Lastly, let's try to convert the following repeating decimal into
fraction.
\(a.b\mathop p\limits^ \bullet \mathop q\limits^
\bullet \)
(1) x = \(a.b\mathop p\limits^
\bullet \mathop q\limits^ \bullet \) 라 놓고, 양변에 10 을 곱한 식과 1000 을 곱한 식 2 개가 있어야 하겠지요?
Let x be the given repeating decimal and multiply by
10 and 1000, in order to make both infinite tails be the same.
10
x = 10a + b + \(0.\mathop p\limits^ \bullet \mathop q\limits^
\bullet \) ⋯ ①
1000
x = 1000a + 100b + 10p
+ q + \(0.\mathop p\limits^
\bullet \mathop q\limits^ \bullet \) ⋯ ②
(2) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
Cut off the same infinite tail by subtraction.
② ‐ ① : [ 가감법 ]
990
x = 990a + 99b + 10p + q
∴ x
= \(\frac{{990a
+ 99b + 10p + q}}{{{\rm{ }}990{\rm{ }}}}\)
참고로, 이 결과를 그냥 공식에 대입해서 같은 지를 확인해 볼까요?
(1) 공식에 그대로 대입하면, 소수점 아래에서 순환마디의 개수가 2개, 순환마디에 포함되지 않는 숫자가 1개이니까, 분모는 990
Write as many 9's as the number of repeating digits 'pq'
followed by as many 0's as the number of non-repeating digits 'b' in the
denominator, which is 990.
(2) 이제, 분자는 그대로 표현하면, abpq – ab 이지만, 문자로 표시된 경우에는 앞에서 배운 대로, 정수부분의 자릿수는 주의를 해서 표현해야 되겠지요?
In the numerator, write down all the number 'abpq' without the decimal point and
subtract from it the number prior to repeating digits 'ab'. Also, we have to be careful to express them in
decimal forms.
(1000a + 100b + 10p +
q) – (10a + b)
= 990a
+ 99b + 10p + q
∴ \(\frac{{990a + 99b + 10p + q}}{{{\rm{ }}990{\rm{ }}}}\)
앞에서 공부한 [똑같은 꼬리를 자르는 기법] 의 결과와 똑같지요?
This result is exactly the same as the result by 'cutting off
the infinite tail' technique.
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