1. absolute value equations
절대값을 포함한 식
absolute
value equations
"기본적으로 절대값 식은
구간을 나누어 풀어야 되요"
" to take the absolute bars off
you have to
split into cases as needed "
절대값이 포함된 식의 계산은, 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 혹은 음 (–) 인지에 따라, 경우를 나누어 계산해야 하는 종합적 사고를 요하는 유형으로, 중고등 과정 중급 및 심화문제에서 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.
기본적으로, 반드시 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.
특히, 함수 그래프에서도 많이 응용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.
♧ ♧ ♧ ♧ ♧ ♧
절대값 | a | 는 a 값의 부호에 관계없이 항상 양수(+)의 값으로 나타내라는 약속입니다. 예를 들면, | 3 | = 3 이고, | – 5 | = 5 라고 합니다. 또한 | 0 | = 0 이 됩니다.
Absolute value of | a | is the non-negative value of 'a',
regardless of its sign. For example, | 3 | = 3, | – 5 | = 5 and | 0 | = 0.
기하적으로, 숫자의 절대값은 '수직선 상의 원점으로부터 그 숫자까지의 거리' 라고 정의되기도 합니다.
Also, the absolute value of a number can be defined as 'its
distance from zero on the number line'.
만일 문자나 식의 절대값을 구하는 경우에는, 경우를 나누어서 풀어야 합니다. 따라서, 위에서 보았던 절대값 | a | 는, 절대값안의 문자가 양 (+) 일 때와 음 (–) 일 때로 나누어서,
In case that the absolute value of variables or equations
was given, we have to split into intervals according to whether its value is
positive(+) or negative(–). Therefore, | a | will be solved as follows:
| a | =
a if a
≥ 0
| a | =
– a if a < 0
이제 그러면, 절대값 일차식인 | x – 5 | 를 풀어 볼까요?
절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 5 를 기준으로, 두 가지 경우로 나누어 풀어야 하겠지요? 아래와 같이 나란히 2 단으로 나열해서 푸는 것이 좋습니다.
In order to remove the absolute bar, we need to divide
into two intervals in which the value within the bar becomes positive (+) or
negative (–).
(A) x < 5 일 때
|
(B) x ≥ 5 일 때
|
– x + 5
|
x – 5
|
이번에는, | x –
5 | – | x + 1 | 을 풀어 볼까요?
이번에는 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 –1 과 5 를 기준으로, 세 구간으로 나누어야 하겠지요? 이번에도, 나란히 3 단으로 나열해서 푸는 것이 좋습니다.
In this case, we need to divide into 3 intervals in which
the value within two absolute bars becomes positive (+) or negative (–).
(A) x < – 1 일 때
|
(B) –1 ≤ x < 5
일 때
|
(C) x ≥ 5 일 때
|
–x + 5 –
(– x – 1)
= 6
|
– x + 5
– (x + 1)
= – 2x + 4
|
x – 5 –
(x + 1)
= – 6
|
이제, 조금 다른 절대값 기본식의 유형을 살펴 보도록 합시다.
| x | = 2 는 어떻게 풀어야 할까요?
(1) 위에서 공부했던 대로, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 두 가지 경우로 나누어 풀어야 하겠지요? 아래와 같이 나란히 2 단으로 나열해서 푸는 것이 표준적인 방법입니다.
In order to solve absolute bar, we need
to divide into two intervals in which the value within the bar becomes
positive (+) or negative (–).
(A) x < 0 일 때
|
(B) x ≥ 0 일 때
|
– x = 2
|
x = 2
|
따라서, x = 2 또는 – 2.
Therefore, we can simply get the answer x = 2 or –
2.
(2) 그러나, 절대값 하나와 숫자만 있는 경우에는, 좀 더 간편하게 ① 절대값의 성질을 이용한다면, x 는 음수(–) 나 양수(+) 로서 크기가 2 인 숫자이므로, 2 또는 – 2 라고 하거나,
If absolute value equation has | x | = a (> 0) form, we can simply conclude x equals 2 or – 2, just from
the definition of absolute sign bar.
(3) 또는 | x |
= | x – 0 | 라고 생각해서, ② 수직선 (number line) 에서의 거리라는 개념으로 보면, 원점인 0 으로부터의 거리가 2 인 점이므로, 2 또는 – 2 라고 할 수가 있습니다.
Or we can define | x – 0 | as the distance of x
from the origin 0 on a number line. From this idea, we can solve that x equals
2 or – 2.
공부한 이 내용을 일반화해서 문자로 정리해 볼까요? 앞으로는 공식으로 정리하고 외워 두기 바랍니다.
We can summarize in general letter forms what we have learned as follows :
한 변에 절대값 하나와 다른 한 변에 숫자만 있는 절대값 일차방정식 즉, | x | = a (
> 0) 는 간단하게 x = a 또는 – a 라고 풀면 된다.
If absolute value equation has | x | = a (
> 0) form, then the answer is simply x = a or – a.
그러면, 마지막으로 연습문제를 하나 풀어 보도록 하지요.
Let's try to solve a worked example.
a < 0 일 때, 절대값 | – a | 를 풀어라.
Solve | – a |, when a < 0.
(1) 혼동이 되어 어렵다면, – a = k 라고 치환해 볼까요?
If it's confusing, let's substitute k for '– a'.
| – a |
= | k |
(2) 그런데, – a = k > 0 이니까,
Here, – a = k > 0,
| – a |
= | k | = k = – a
(3) 따라서, | – a | = – a 가 되지요.
Therefore, | – a | = – a.
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