6. rationalizing the denominator (1)

분모의 유리화

rationalizing the denominator

"분모를 유리화해야만 정답이예요"

 " if the denominator contains radicals,

then it’s not a right answer "

제곱근 식의 계산에서 최종적인 답은 반드시 분모를 유리화 한 후에, 같은 제곱근을 가진 동류항들을 정리해야만 정답으로 처리됩니다.

분모의 제곱근 식은 간단히 제곱하는 방법으로는 쉽게 유리화가 되지 않으므로, [곱셈공식] 단원에서 배웠던 합차공식 등을 이용해야 합니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는, 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실인 바, 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

스마트폰에서 수학 수식을 보시려면, 왼쪽 버튼을 누른 후

[데스크톱 보기] 를 설정하세요.

You can read math equations

by selecting [desktop view] on the mobile

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

우선, 아래의 제곱근 식을 계산하는 과정을 한 번 살펴 보도록 할까요?

First, let’s review the following process of square root calculation.

√ 6  – \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\) + √ 24 

= √ 6  – \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\) + 2√ 6 

= 3√ 6  – \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)

이 결과를 정답이라고 할 수 있을까요?

Will this be a correct answer?

자세하게 살펴보면, 동류항끼리 정리되지 않았기 때문에 옳게 계산된 결과라 볼 수 없습니다.

No, because ‘like terms’ are not simplified yet.

\(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\) x \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\) = \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

따라서, 동류항인 √ 6  을 포함하는 항들을 모두 정리해 주어야 합니다.

Therefore, we have to simplify all the ‘like terms’ √ 6 .

= 3√ 6  – \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)

= 3√ 6  – \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

= \(\frac{{5\sqrt 6 }}{2}\)

이와 같이 분모에 무리수가 있는 경우에, 분모의 루트기호를 없애 유리수로 만드는 것을 ‘분모의 유리화’ 라고 합니다.

When the denominator contains radicals, we have to get rid of them to make the denominator have only rational value, to be in ‘simplest form’, which means ‘rationalizing’ the denominator.

  

[ 1 ] 아래의 예와 같이, 분모에 단일 항의 제곱근만이 있는 가장 간단한 유형은, 분모와 동일한 제곱근을 분자와 분모에 곱해 주어 유리화 할 수 있습니다.

When the denominator has radicals only, we can easily rationalize it by multiplying top and bottom by the same radical as shown below.

(1) \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\)           

= \(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}\) x \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)

= \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)         

(2) \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2  \times \sqrt 3 }}\)

= \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2  \times \sqrt 3 }}\) x \(\frac{{\sqrt 2  \times \sqrt 3 }}{{\sqrt 2  \times \sqrt 3 }}\)

= \(\frac{{\sqrt 5  \times \sqrt 2  \times \sqrt 3 }}{{2 \times 3}}\)

= \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\)

또는 (or)

(2)' \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2  \times \sqrt 3 }}\) = \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 6 }}\)

= \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 6 }}\) x \(\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 6 }}\)

= \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}\)

[ 2 ] 이와는 달리, 분모가 제곱근을 포함하는 이항 또는 다항의 형태로 되어 있는 경우에는, 위와 같이 간단히 같은 제곱근을 곱해주거나 제곱하는 방법으로는 유리화가 되지 않습니다.

On the contrary, when the denominator has radicals in binomial form, we cannot rationalize them simply by multiplying the radicals or squaring the whole denominator.

\(\frac{3}{{\sqrt 2  + 1}}\)

= \(\frac{3}{{\sqrt 2  + 1}}\) x \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)

= \(\frac{{3\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)  ???

또는 (nor)

\(\frac{3}{{\sqrt 2  + 1}}\)

= \(\frac{3}{{\sqrt 2  + 1}}\) x \(\frac{{\sqrt 2  + 1}}{{\sqrt 2  + 1}}\)

= \(\frac{{3\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}}\)

= \(\frac{{3\sqrt 2  + 3}}{{3 + 2\sqrt 2 }}\)  ???

이런 경우, 우리는 [곱셈공식] 단원에서 배웠던 합차공식을 이용해서 분모를 유리화 해낼 수 있습니다.

Here, we can use ‘difference of squares’ factoring rule in order to rationalize the denominator.

(A + B)(A – B) = A² – B²

아래와 같이 분모의 제곱근(식) 에 대한 켤레근(식) 을 분모와 분자에 똑같이 곱해주면,

If we multiply both top and bottom by the conjugate of the denominator,

(3) \(\frac{3}{{\sqrt 2  + 1}}\)

= \(\frac{3}{{\sqrt 2  + 1}}\) x \(\frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - 1}}\)

= \(\frac{{3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}\)

= \(\frac{{3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{{2 - 1}}\)

= 3(√ 2  – 1)

이번에는, 똑같은 합차공식을 이용해서 제곱근이 2 개가 있는 분모를 유리화 해 보도록 할까요?

In a similar way, let’s rationalize the denominator that has 2 radicals by using ‘difference of squares’ factoring rule.

(A – B)(A + B) = A² – B²

(4) \(\frac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}\)

= \(\frac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}\) x \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}\)

= \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}}\)

= \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{3 - 2}}\)

= √ 3  + √ 2