3. geometric sequence

등비수열

geometric sequences

"등비수열은 같은 값을 계속

곱해주는 거예요"

" it's a sequence

multiplying the same ratio "

등비수열 또한 초등산수 시절부터 배우는, 수의 규칙성을 찾는 유형 중에서 가장 기초적인 수열의 하나입니다.

등비수열도 일반적인 제 n 항까지, 그리고 공비 r 등의 문자로 표현되는 일반화된 기본개념을 정확하게 익혀 두어야, 앞으로 배우는 계차수열이나 무한 등비급수 등의 상위 개념을 어려움 없이 공부해 낼 수 있습니다.

특히, 뒤에서 배우게 될 여러가지 수열의 점화식 등에서도 자주 활용되는 기본 개념이므로, 응용력을 철저히 익혀두기 바랍니다.

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앞에서 공부했던 수열을 복습해 보도록 할까요?

Let's review what we have learned about sequences before.

예를 들어 2, 6, 18, 54, 162, ... 와 같이, 3 을 곱하는 방식으로 계속해서 다음 항을 만드는 수열을 등비수열이라고 하고, 이 때의 곱해지는 일정한 상수값을 공비라고 한다는 것을 앞에서 배웠습니다.

We learned that 'a geometric sequence' has a constant ratio between any term and the term after it and the ratio, x 3 in this example, is called 'common ratio'.

이 등비수열의 구조를 조금 더 자세히 살펴 보도록 할까요?

Let's investigate the structure of this geometric sequence in detail.

2,    6,   18,   54,    162, ...

∨      ∨      ∨      ∨       

x 3    x 3    x 3    x 3      

a₁ = 2

a₂ = 2 x 3

a₃ = 2 x 3 x 3

a₄ = 2 x 3 x 3 x 3

∴  a_n = 2 x 3^{(n – 1)}

위에서 보는 것과 같이, n 번째의 일반항인 a_n 은 첫째 항인 a₁ 에다가 (n – 1) 개의 공비를 곱하는 방법으로 구해진다는 것을 알 수 있습니다.

As shown above, we can find the n-th general term by multiplying common ratio (n – 1) times to the first term a₁.

이 내용을 일반화해서 공식으로 정리하도록 할까요?

Let's summarize what we learned, which is called explicit formula.

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등비수열 { a_n } 의 첫째항을 a₁, 공비를 r 라고 하면 n 번 째의 일반항 a_n 은 아래와 같이 구한다.

Suppose a₁ is the first term and r is the common ratio of a geometric sequence { a_n }, then the n-th term a_n, i.e. the explicit formula, will be as follows :

a_n = a₁ x r ^{(n – 1)}

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보기 문제로, 아래의 수열에서 10 번째 항과 제 n 번째 항을 구해 보도록 할까요?

As worked examples, let's find the 10^th and n-th general term of the following sequences.

(1) 3, 6, 12, 24, 48, ...

a₁ = 3,   r = 2

∴  a_n = 3 x 2^{(n – 1)}

∴  a₁₀ = 3 x 2^{(10 – 1)} = 1536

(2) 2, – 6, 18, – 54, 162, ...

a₁ = 2,   r = – 3

∴  a_n = 2 x (– 3)^{(n – 1)}

∴  a₁₀ = 2 x (– 3)^{(10 – 1)} = – 2 x 3⁹

그러면, 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?

Then, let's solve some exercises.

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공비가 0.5 이고 제 6 항이 5 인 등비수열의 첫 째항을 구하여라.

Find the initial term of a geometric sequence such that its common ratio is 0.5 and the 6^th term is 5.

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

First, try to write down a formula in terms of a₁ and r.

r = 0.5                       ⋯ ①

a₆ = a₁ x r ^{(6 – 1)} = 5  ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

It has the systems of two equations and therefore,

[대입법]  ① ⇒ ②  :

[ substitution method ]

a₁ x (0.5)^{(6 – 1)} = 5

∴  a₁ = 5 x 2⁵ = 160

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제 5 항이 48 이고 제 10 항이 – 1536 인 등비수열의 첫 째항을 구하여라.

Find the initial term of a geometric sequence of which the 5^th term is 48 and the 10^th term is – 1536.

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

If we write down a formula in terms of a₁ and d.

a₅ = a₁ x r ^{(5 – 1)} = 48        ⋯ ①

a₁₀ = a₁ x r ^{(10 – 1)} = – 1536  ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

Now, solve the systems of equations,

[승제법]  ② ÷ ① :

[ elimination method ]

r ⁵ = – 32 = (– 2)⁵

∴ r = – 2  ⋯ ③

[대입법]  ③ ⇒ ① :

[ substitution method ]

a₁ x (– 2)⁴ = 48

16 a₁ = 48

∴  a₁ = 3

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제 n 항이 아래와 같이 표현되는 등비수열에서, 그 첫 째항과 공비를 구하여라.

Find the initial term and the common ratio of a geometric sequence when its n-th term is expressed as follows :

a_n = 2 x 3^{(2n – 1)}

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(1) 주어진 일반항을 a_n = a₁ x r ^{(n – 1)} 의 표준형태로 바꾸면,

If we change the given formula into standard explicit form,

2n – 1 = 2(n – 1) + 1

∴  a_n = 2 x 3^{{2(n – 1) + 1}}

= 2 x 3^{2(n – 1)} x 3¹

= 2 x 3 x 3^{2(n – 1)}

∴  a_n = 6 x 9^{(n – 1)}

따라서,  첫 째항 a₁ = 6,  공비 r = 9

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세 수 8, a, b 는 이 순서로 등차수열을 이루고, a, b, 36 은 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 두 자연수 a, b 를 구하여라.

Find positive integers a and b when 8, a, b is a finite arithmetic sequence and a, b, 36 is a finite geometric sequence.

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(1) 8, a, b 는 이 순서로 등차수열을 이룬다고 했으니까,

When 8, a, b is a finite arithmetic sequence,

2a = 8 + b   ⋯ ①

(2) 또, a, b, 36 은 이 순서로 등비수열을 이룬다고 했으니까,

In addition, a, b, 36 is a finite geometric sequence,

b² = a x 36  ⋯ ②

(3) 이제, 일차식과 이차식을 연립으로 풀 때에는, 반드시 일차식을 이차식에 대입하는 것이 좋습니다.

When the systems of linear and quadratic equations are given, the best way to solve is to substitute linear equation into the quadratic,

[대입법]  ① ⇒ ② :

[ substitution method ]

(2a – 8)² = a x 36

a² – 17a +16 = 0

(a – 16) (a – 1) = 0

∴  a = 16  or  1

(4) 이 결과를 ① 식에 대입하면,

If we substitute this result into equation ① :

b = 24  or  – 6

∴  (a, b) = (16, 24)