5. straight line equation : two-point form

두점을 지나는 직선

two-point form

"기울기만 구하고 나면

한점 지나는 경우와 똑같아요"

" find the slope

and then it's just point-slope "

일차함수의 그래프는 중고등 수학 전과정에서 다양하게 활용되는 매우 중요한 단원입니다.

직선의 방정식을 그래프로 나타내거나, 직선의 그림을 일차식으로 바꾸는 방법은 여러 가지가 있습니다.

가장 기초적인 '기울기-절편' 방식과 '한점-기울기' 방식을 충분히 익혔다면, 또 다른 다양한 방법들도 알아 두어야, 중고등수학 전반에서 응용력을 가지고 문제를 해결해 나갈 수 있습니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 공부하는 데 꼭 필요한 중요한 개념이니까 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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예를 들어, 두 점 A = (–3, 2) 와 B = (6, 5) 을 지나는 직선의 방정식에 대해서 알아 볼까요?

Let's find the equation of a line which passes through the points A = (–3, 2) and B = (6, 5) as a worked example.

(1) 가장 먼저, 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구합니다. 기울기는 아래 그림에서와 같이, 선분 AB 를 빗변으로 하는 직각삼각형 ΔABC 에서 초록색의 점선으로 표시된 [ 높이 (BC) ÷ 밑변 (AC) ] 입니다.

First of all, we'll find the slope of a line.  As we learned, the slope is [ rise over run ], which is green dotted line [ height (BC) over base (AC) ] as shown below, in the right triangle ΔABC

(2) 따라서, 초록색 점선으로 표시된 것과 같이 [오른쪽으로 9칸] 갈 때, [위로 3칸] 갔으니까, 기울기는 아래와 같습니다.

Accordingly, we can find the slope by interpreting 'move 9 units to the right and 3 units up' as ' rise 3 over run 9'.

\(\frac{{3}}{{9}}\) = \(\frac{{1}}{{3}}\)

(3) 기울기가 구해 졌으니까, 이제는 우리가 이미 배웠던 [기울기를 알고 한 점을 지나는 직선의 방정식] 을 구하는 방법대로 하면 됩니다.

Now that we found the slope, the remaining procedure will be the same as [point-slope] method.


(4) 기울기가 \(\frac{{1}}{{3}}\) 이고, 점 A = (–3, 2) 또는 B = (6, 5) 을 지나는 직선의 방정식이므로,

We can write the line equation which has the slope \(\frac{{1}}{{3}}\) and passes through the points A = (–3, 2) or B = (6, 5) as follows :

y – 2 = \(\frac{{1}}{{3}}\) (x + 3)

또는 (or)

y – 5 = \(\frac{{1}}{{3}}\) (x – 6)

∴  y = \(\frac{{1}}{{3}}\) x + 3

위에서 배운 내용을 문자로 일반화해서 정리해 볼까요?

두 점 A = (x₁, y₁) 과 B = (x₂, y₂) 을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법은,

The equation of a line which passes through A = (x₁, y₁) and B = (x₂, y₂) is :

(1) 기울기는 [오른쪽으로 (x₂ – x₁) 칸] 갈 때, [위로 (y₂ – y₁) 칸] 또는 [오른쪽으로 (x₁ – x₂) 칸] 갈 때, [위로 (y₁ – y₂) 칸] 움직이니까,

The slope is [rise (y₂ – y₁) over run (x₂ – x₁)] or [rise (y₁ – y₂) over run (x₁ – x₂)]

\(\frac{{{\rm{ }}{y_2} - {y_1}{\rm{ }}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)

또는 (or)

\(\frac{{{\rm{ }}{y_1} - {y_2}{\rm{ }}}}{{{x_1} - {x_2}}}\)

(2) 이제, 기울기를 구한 직선이 점 A = (x₁, y₁) 또는 B = (x₂, y₂) 을 지나므로, 앞에서 배운 '한점-기울기' 방식을 적용하면, 아래의 4 가지가 모두 같은 직선의 방정식이 됩니다.

Now that we know the slope of a line which passes through A = (x₁, y₁) or B = (x₂, y₂), we can apply [point-slope] method. Therefore, following 4 equations are all identical.

y – y₁ = \( \frac{{{\rm{ }}{y_2} - {y_1}{\rm{ }}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)(x – x₁)

y – y₂ = \( \frac{{{\rm{ }}{y_2} - {y_1}{\rm{ }}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)(x – x₂)

y – y₁ = \( \frac{{{\rm{ }}{y_1} - {y_2}{\rm{ }}}}{{{x_1} - {x_2}}}\)(x – x₁)

y – y₂ = \( \frac{{{\rm{ }}{y_1} - {y_2}{\rm{ }}}}{{{x_1} - {x_2}}}\)(x – x₂)

이 4 개 중에서 대표적으로 하나만 공식으로 정리할까요? 반드시 암기해 두기 바랍니다.

Let's select a typical one among 4 equations and summarize it.

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두 점 A = (x₁, y₁) 과 B = (x₂, y₂) 을 지나는 직선의 방정식은,

The equation of a straight line which passes through the points A = (x₁, y₁) and B = (x₂, y₂) is :

y – y₁ = \( \frac{{{\rm{ }}{y_2} - {y_1}{\rm{ }}}}{{{x_2} - {x_1}}}\)(x – x₁)

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공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?

Let's try to solve a review exercise.

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점 (– 2, 7) 과 (1, 1) 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

Write the equation of a line which passes through (– 2, 7) and (1, 1).

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(1) 먼저, 직선의 기울기를 구해야 하겠지요?

First, find the slope of a line.

\(\frac{{1 - 7}}{{1 - ( - 2)}}\) = – 2

(2) 기울기가 – 2 이고 (1, 1) 을 지나는 직선이니까, [기울기를 알고 한 점을 지나는 직선의 방정식] 의 방법대로 하면,

According to [point-slope] method as this line has slope – 2 and passes through (1, 1) :

y – 1 = – 2(x – 1)

∴  y = – 2x + 3

(3) 또는, 앞에서 정리했던 공식을 그대로 적용하면,

Or we can just apply the formula summarized above :

y – 1 = \(\frac{{1 - 7}}{{1 - ( - 2)}}\)(x – 1)

y – 1 = – 2(x – 1)

∴  y = – 2x + 3