7. rationalizing the denominator (2)

분모의 유리화

rationalizing the denominator

"분모를 유리화해야만 정답이예요"

 " if the denominator contains radicals,

then it’s not a right answer "

제곱근 식의 계산에서 최종적인 답은 반드시 분모를 유리화 한 후에, 같은 제곱근을 가진 동류항들을 정리해야만 정답으로 처리됩니다.

분모의 제곱근 식은 간단히 제곱하는 방법으로는 쉽게 유리화가 되지 않으므로, [곱셈공식] 단원에서 배웠던 합차공식 등을 이용해야 합니다.

최근 들어 쉬워진 수능과 내신의 환경에서는, 사소한 계산 실수 하나가 너무나 뼈아픈 결과를 초래하고 있는 것이 현실인 바, 중학시절부터 계산력 만은 반드시 확실하게 다져 놓기를 바랍니다.

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지난 시간에 이어서 오늘은 약간 더 어려운 수준의 분모의 유리화를 공부해 보도록 할까요?

Let’s continue to study more into advanced level topics of ‘rationalizing’ the denominator.

[ 3 ] 합차공식을 이용하여 계산된 분모의 값의 결과가 ±1 이 되는 경우에는, 아래와 같이 특별한 역수의 성질을 갖게 되므로 유리화의 계산이 아주 쉬워집니다.

We can easily use the simple property of reciprocals when the value of ‘difference of squares’ is ±1.

(A + √ B )(A – √ B ) = A² – B = 1

∴   \(\frac{1}{{{\rm{A}} - \sqrt {\rm{B}} }} = \frac{{{\rm{A}} + \sqrt {\rm{B}} }}{{{{\rm{A}}^{\rm{2}}} - {\rm{B}}}}\)= A + √ B 

or

∴   \(\frac{1}{{{\rm{A}} + \sqrt {\rm{B}} }} = \frac{{{\rm{A}} - \sqrt {\rm{B}} }}{{{{\rm{A}}^{\rm{2}}} - {\rm{B}}}}\)= A – √ B 

예를 들어 보도록 할까요? 아예 외워 두고 계산에 활용하면 아주 편리합니다.

It’s very convenient if you memorize and use the following results in square roots computation.

 \(\frac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}\)= √ 3  – √ 2 

 \(\frac{1}{{3 - 2\sqrt 2 }}\)= 3 + 2√ 2 

 ︙

분모가 음 (–) 의 값을 갖는 경우에는, 우선 양 (+) 의 값을 갖도록 변형한 후에 계산하는 습관을 들이는 것이 실수를 줄이는데 크게 도움이 됩니다.

It’s recommended to change the value into positive (+) first, when the ‘difference of squares’ is – 1, in order to minimize simple mistakes.

 \(\frac{1}{{\sqrt 3  - 2}}\)

= – \(\frac{1}{{2 - \sqrt 3 }}\)

= – (2 + √ 3 )

= – 2 – √ 3 

[ 4 ] 이번에는 분모에 제곱근이 2 개 이상으로 조금 어려운 유형을 살펴 보도록 할까요?

This time, let’s study more complicated type that has more than two radicals in the denominator.

 \(\frac{1}{{1 + \sqrt 2  + \sqrt 3 }}\)

이 경우에는 분모의 식을 나누어서, 한 단계씩 켤레근(식)을 이용한 유리화를 해 나가면 됩니다.

We can rationalize the denominator step by step if we divide the polynomial and apply ‘difference of squares’ method.

= \(\frac{1}{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right) + 1}}\) x \(\frac{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right) - 1}}{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right) - 1}}\)

= \(\frac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - 1}}{{{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}^2} - 1}}\)

= \(\frac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - 1}}{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right) - 1}}\)

= \(\frac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - 1}}{{4 + 2\sqrt 6 }}\)

= ½ x \(\frac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 6  + 2}}\) x \(\frac{{\sqrt 6  - 2}}{{\sqrt 6  - 2}}\)

= ½ x \(\frac{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 6  - 2} \right)}}{2}\)

= \(\frac{{2 + \sqrt 2  - \sqrt 6 }}{4}\)

하나만 더 풀어 보도록 할까요?

Let’s review one more worked example.

 \(\frac{1}{{\sqrt 3  - 2 + \sqrt 5 }}\)

= \(\frac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 5  - 2}}\) x \(\frac{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right) + 2}}{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right) + 2}}\)

= \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 5  + 2}}{{{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)}^2} - 4}}\)

= \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 5  + 2}}{{\left( {8 + 2\sqrt {15} } \right) - 4}}\)

= \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 5  + 2}}{{4 + 2\sqrt {15} }}\)

= ½ x \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 5  + 2}}{{\sqrt {15}  + 2}}\) x \(\frac{{\sqrt {15}  - 2}}{{\sqrt {15}  - 2}}\)

= ½ x \(\frac{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 5  + 2} \right)\left( {\sqrt {15}  - 2} \right)}}{{11}}\)

= \(\frac{{3\sqrt 3  + \sqrt 5  + 2\sqrt {15}  - 4}}{{22}}\)

[ 5 ] 마지막으로, 중학수학의 범위를 벗어난 고등수학의 [지수] 단원에 해당하는 내용이지만, 참고로 세제곱 곱셈공식을 이용한 분모의 유리화도 간단하게 소개합니다.

Lastly, I’d like to introduce advanced level topic – ‘rationalizing the denominator’ using the ‘difference of cubes’.

(A + B)(A² – AB + B²) = A³ + B³

(A – B)(A² + AB + B²) = A³ – B³

(1)   \(\frac{1}{{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}}}\)             .

= \(\frac{1}{{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}}\) x \(\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^2} - \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{2} + {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^2} - \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{2} + {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^2}}}\)

= \(\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^2} - \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{2} + {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{3}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3}}}\)

= \(\frac{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}}{5}\)

(2)   \(\frac{1}{{5 - \sqrt[3]{2}}}\)               .

= \(\frac{1}{{5 - \sqrt[3]{2}}}\) x \(\frac{{{5^2} + 5 \times \sqrt[3]{2} + {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^2}}}{{{5^2} + 5 \times \sqrt[3]{2} + {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^2}}}\)

= \(\frac{{{5^2} + 5 \times \sqrt[3]{2} + {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^2}}}{{{5^3} - {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3}}}\)

= \(\frac{{25 + 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}}{{123}}\)